超幾何方程

超幾何方程是一種特殊的二階線性常微分方程——具有三個正則奇點的 Fuchs 型方程的原型，它有如下形式 $z(1-z)w''+[\gamma -(\alpha +\beta +1)z]w'-\alpha \beta w=0,$ 這裏 $w(z)$ 是關於復變數 $z$ 的複變函數， $\alpha, \beta, \gamma$ 是復常數，該方程的奇點為 $0,1,\infty.$

超幾何級數[]

考慮初值問題 $w(z) = l_0, \quad w''(z) = l_1.$ 假設方程#A1有級數形式解 $w(z) = z^\rho \sum_{n=0}^\infty c_n z^n, c_0 \ne 0$ ，代入方程得係數滿足 $c_n = \dfrac{(\rho+k-1+\alpha)(\rho+k-1+\beta)}{(\rho+k)(\rho+k-1+\gamma)} c_{n-1}, n > 1.$ 假設 $\gamma \ne -n, n \in \N^+ \cup \{ 0 \}$ ，那麼在奇點 $z=0$ 處的其中之一的指標 $\rho_1 = 0$ 處的解為 $F(\alpha, \beta, \gamma, z) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(\alpha)_n (\beta)_n}{n! (\gamma)_n} z^n.$ 這裏 $(\alpha)_n = \dfrac{\Gamma(\alpha+n)}{\Gamma(\alpha)}.$ 上述級數至少在 $|z| < 1$ 上收斂，注意到解的奇點只可能是方程的奇點 $z = 0,1$ ，故可以通過解析延拓的方式將定義域推廣到整個複平面，得到的函數稱為超幾何函數，一般來說，特可能是單值解析的，也可能是多值的（ $z = 0,1$ 可能是支點）。

參考資料

王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函數概論》, 北京大學出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.

特殊函數論（學科代碼：1104170，GB/T 13745—2009）
特殊多項式	正交多項式 ▪ Bernoulli 多項式 ▪ Euler 多項式 ▪ Chebyshev 多項式 ▪ Legendre 多項式 ▪ Laguerre 多項式 ▪ Hermite 多項式
Euler 積分	Γ 函數 ▪ Euler 無窮乘積公式 ▪ Weierstrass 無窮乘積公式 ▪ 對數 Γ 函數 ▪ Dirichlet 積分 ▪ Β 函數 ▪ Riemann ζ 函數 ▪ Hermite 公式
超幾何函數	超幾何級數 ▪ 超幾何方程 ▪ Barnes 積分 ▪ Jacobi 多項式 ▪ Kummer 公式 ▪ 廣義超幾何函數
合流超幾何函數	Whittaker 方程 ▪ Whittaker 函數 ▪ 第二類 Whittaker 函數 ▪ Weber 方程 ▪ Hermite 函數
Legendre 函數	Legendre 方程 ▪ Rodrigues 公式 ▪ 第二類 Legendre 函數
Bessel 函數	Bessel 方程 ▪ 第二類 Bessel 函數 ▪ 第三類 Bessel 函數 ▪ 變型 Bessel 函數 ▪ 球 Bessel 函數 ▪ Thomson 函數 ▪ Neumann 展開
橢圓函數	橢圓積分 ▪ ϑ 函數 ▪ 全橢圓積分 ▪ Jacobi 橢圓函數 ▪ 第二類橢圓積分 ▪ 第三類橢圓積分 ▪ Leme 函數
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