超几何方程是一种特殊的二阶线性常微分方程——具有三个正则奇点的 Fuchs 型方程的原型,它有如下形式
这里是关于复变数的复变函数,是复常数,该方程的奇点为
超几何级数[]
考虑初值问题
假设方程#A1有级数形式解,代入方程得系数满足
假设,那么在奇点处的其中之一的指标处的解为
这里
上述级数至少在上收敛,注意到解的奇点只可能是方程的奇点,故可以通过解析延拓的方式将定义域推广到整个复平面,得到的函数称为超几何函数,一般来说,特可能是单值解析的,也可能是多值的(可能是支点)。
参考资料
- 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函数概论》, 北京大学出版社, 北京, 2000-05, ISBN
978-7-3010-4530-5
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