超几何分布

在概率论中，超几何分布是一个在产品检验和随机抽样中应用广泛的概率分布模型。

模型

设有$N$件产品，其中有$M$件次品，从中不放回地随机抽取$n$件产品，那么恰好有$k$件次品的概率为 $$P\{X=k\} = \dfrac{\dbinom{M}{k}\dbinom{N-M}{n-k}}{\dbinom{N}{n}}$$ 其中，随机变量$X$是次品数，它的所有可能取值为$0,1,\cdots,\min\{M,n\}$，在相关计算中，为了书写简便，我们约定它取其它值的概率为零。

由超几何分布的规范化条件，我们可以得到 $$\sum_{k=0}^{\min\{M,n\}} \dbinom{M}{k}\dbinom{N-M}{n-k} = \dbinom{N}{n}, \quad M \leqslant N.$$ R 语言的超几何分布分布律函数为dhyper。

二项近似

考虑另外一个模型，有$N$件产品，其中有$M$件次品，从中有放回地随机抽取$n$件产品，那么恰好有$k$件次品的概率$P\{X = k\}$，显然它是一个二项分布模型，即有 $$P\{ Y = k \} = b \left( k; n, \dfrac{M}{N} \right) = \dbinom{n}{k} \left( \dfrac{M}{N} \right)^k \left( 1 - \dfrac{M}{N} \right)^{n-k}$$ 可以证明，当$N$足够大的时候，可以用二项分布来近似超几何分布，这样可以在一定程度上简化计算。

期望和方差

超几何分布的期望和方差分别是 $$E(X) = \dfrac{nM}{N}, \quad D(X) = \dfrac{nM}{N} \left( 1 - \dfrac{M}{N} \right) \dfrac{N-n}{N-1}.$$

上下节

• 上一节：Pascal 分布
• 下一节：Poisson 分布

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.