超幾何函數

超幾何函數是藉助超幾何方程定義的一類函數，它是通過對超幾何方程的特殊解作級數方法延拓定義的。很多初等函數和一些抽象函數都是超幾何函數的特例。

定義

詳見超幾何方程。關於超幾何方程的解用超幾何函數來表達的討論也見超幾何方程一頁。一個超幾何函數通常用$F(\alpha, \beta, \gamma, z)$表示，是關於$z$的複變函數，這裏$\alpha, \beta, \gamma$是復常數。

連帶函數

假設有超幾何函數$F(\alpha, \beta, \gamma, z)$以及整數$l, m, n$，那麼$F(\alpha+l, \beta+m, \gamma+n, z)$被稱為$F(\alpha, \beta, \gamma, z)$的連帶函數，或鄰次函數。

在不引起混淆的情況下$F(\alpha, \beta, \gamma, z)$簡記作$F$，而與$F$僅差一個復常數的超幾何函數$F(\alpha+l, \beta, \gamma, z)$簡記作$F(\alpha+l)$；$F(\alpha, \beta+m, \gamma, z)$簡記作$F(\beta+m)$；$F(\alpha+l, \beta+m, \gamma, z)$簡記作$F(\alpha+l, \beta+m)$等等。

Gauss 證明了任意三個連帶函數$F_1, F_2, F_3$之間有關係 $$A_1 F_1 + A_2 F_2 + A_3 F_3 = 0.$$ 這裏$A_1, A_2, A_3$是關於$z$的有理函數。

最基本的兩個關係式為 $$\begin{align} (\gamma-1) F(\gamma-1) - \alpha F(\alpha+1) - (\gamma-\alpha-1) F = 0, \\ \gamma F - \beta z F(\beta+1, \gamma+1) - \gamma F(\alpha-1) = 0. \end{align}$$ 此外還有導數關係 $$\dfrac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}z^m} F(\alpha, \beta, \gamma, z) = \dfrac{(\alpha)_m (\beta)_m}{(\gamma)_m} F(\alpha+m, \beta+m, \gamma+m, z).$$

積分表示

可以證明有 $$F(\alpha, \beta, \gamma, z) = \dfrac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\beta) \Gamma(\gamma-\beta)} \int_0^1 t^{\beta-1} (1-t)^{\gamma-\beta-1} (1-zt)^{-\alpha} \mathrm{d}t.$$ 這裏$(1-zt)^{-\alpha}$可能是多值函數，一般選擇$z=0$時$(1-zt)^{-\alpha} = 1$的主值支，且要求$\text{Re } \gamma > \text{Re } \beta > 0, |\arg(1-z)| < \pi.$

$z = 1, \infty$可能是$F(\alpha, \beta, \gamma, z)$的支點，上述積分關係式當條件$F(\alpha+l)$$\text{Re } \gamma > \text{Re } \beta > 0$不滿足時聯繫 β 函數的雙周線積分有如下結果 $$F(\alpha, \beta, \gamma, z) = \dfrac{-\text{e}^{-\text{i}\pi\gamma} \Gamma(\gamma)}{4 \Gamma(\beta) \Gamma(\gamma-\beta) \sin \beta\pi \sin (\gamma-\beta) \pi} \int_C t^{\beta-1} (1-t)^{\gamma-\beta-1} (1-zt)^{-\alpha} \mathrm{d}t.$$ 這裏要求$\gamma \ne 0, -1, -2, \cdots$，且$|\arg(1-z)| < \pi$，$z=0$時$(1-zt)^{-\alpha} = 1$，雙周線積分的路徑$C$從一點$P$（滿足$\arg t = \arg(1-t) = 0$）出發。

除此之外還有另一種積分表示—— Barnes 積分。

特殊值$F(\alpha, \beta, \gamma, 1)$

$$F(\alpha, \beta, \gamma, 1) = \lim_{z \to 1^-} F(\alpha, \beta, \gamma, z) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(\alpha)_n (\beta)_n}{n! (\gamma)_n} = \dfrac{\Gamma(\gamma) \Gamma(\gamma-\alpha-\beta)}{\Gamma(\gamma-\alpha) \Gamma(\gamma-\beta)}.$$ 僅需要求$\text{Re } (\gamma-\alpha-\beta) > 0$即可。

參考資料

1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函數概論》, 北京大學出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.