超几何函数是借助超几何方程定义的一类函数,它是通过对超几何方程的特殊解作级数方法延拓定义的。很多初等函数和一些抽象函数都是超几何函数的特例。
定义[]
详见超几何方程。关于超几何方程的解用超几何函数来表达的讨论也见超几何方程一页。一个超几何函数通常用
表示,是关于
的复变函数,这里
是复常数。
连带函数[]
假设有超几何函数
以及整数
,那么
被称为
的连带函数,或邻次函数。
在不引起混淆的情况下
简记作
,而与
仅差一个复常数的超几何函数
简记作
;
简记作
;
简记作
等等。
Gauss 证明了任意三个连带函数
之间有关系

这里

是关于

的有理函数。
最基本的两个关系式为

此外还有导数关系

积分表示[]
可以证明有

这里

可能是多值函数,一般选择

时

的主值支,且要求
可能是
的支点,上述积分关系式当条件
不满足时联系 β 函数的双周线积分有如下结果

这里要求

,且

,

时

,双周线积分的路径

从一点

(满足

)出发。
除此之外还有另一种积分表示—— Barnes 积分。
特殊值
[]

仅需要求

即可。
参考资料