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超几何函数是借助超几何方程定义的一类函数,它是通过对超几何方程的特殊解作级数方法延拓定义的。很多初等函数和一些抽象函数都是超几何函数的特例。

定义[]

详见超几何方程。关于超几何方程的解用超几何函数来表达的讨论也见超几何方程一页。一个超几何函数通常用表示,是关于复变函数,这里是复常数。

连带函数[]

假设有超几何函数以及整数,那么被称为的连带函数,或邻次函数。

在不引起混淆的情况下简记作,而与仅差一个复常数的超几何函数简记作简记作简记作等等。

Gauss 证明了任意三个连带函数之间有关系

这里是关于的有理函数。

最基本的两个关系式为

此外还有导数关系

积分表示[]

可以证明有

这里可能是多值函数,一般选择的主值支,且要求

可能是的支点,上述积分关系式当条件不满足时联系 β 函数的双周线积分有如下结果

这里要求,且,双周线积分的路径从一点(满足)出发。

除此之外还有另一种积分表示—— Barnes 积分

特殊值[]

仅需要求即可。

参考资料

  1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函数概论》, 北京大学出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.
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