贴空间

在拓扑学中，贴空间（adjunction space）是通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的方法之一。

定义

假设$X, Y$是拓扑空间，$A$是$Y$的闭子集，$f: A \to X$是一个连续映射。我们定义拓扑和$X \amalg Y$上的等价关系：$\forall a \in A, a \sim f(a)$，其余的点在单独的等价类中。这样商空间

$$X \cup_f Y := X \amalg Y /\sim$$

就被称为贴空间，$f$也称为贴映射（attaching map）。

1. 如果$A = \varnothing$，那么$X \amalg Y /\sim = X \amalg Y.$
2. 如果$A = \{ p \}$，那么$X \amalg Y /\sim = X \vee Y$是楔和。

性质

假设$X \cup_f Y$是贴空间，$q: X \amalg Y \to X \cup_f Y$是对应的商映射。

1. $q|_X$是拓扑嵌入，且象集$q(X)$在$X \cup_f Y$中闭。
2. $q|_{Y \setminus A}$是拓扑嵌入，象集$q(Y \setminus A)$是$Y$的开子空间。
3. $X \cup_f Y$是$q(X)$和$q(Y \setminus A)$的不交并。

流形

我们可以将流形按照它们的边界粘起来形成一个贴空间。

假设$M, N$是$n$维的带边流形，且它们的边界$\partial M, \partial N$非空且同胚，假设$h: \partial N \to \partial M$就是这样的一个同胚映射，那么$M \cup_h N$是一个不带边的$n$维流形，且存在拓扑嵌入$e: M \to M \cup_h N, f: N \to M \cup_h N$，它们的象集都是$M \cup_h N$的闭集，且满足

$$\begin{align} e(M) \cup f(N) & = M \cup_h N, \\ e(M) \cap f(N) & = e(\partial M) = f(\partial N). \end{align}$$

参考资料

1. 尤承业, 《基础拓扑学讲义》, 北京大学出版社, 北京, 1997-01, ISBN 978-7-3010-3103-2.