负二项分布

在概率论中，负二项分布（又称 Polya 分布）是 Pascal 分布的一个推广，也是一种离散型概率分布。

概念

给定正实数$r$，设离散型随机变量$X$满足 $$P \{ X=t \} = \dbinom{-r}{t} p^{r} (-q)^{t}$$ 其中，$0 \leqslant p \leqslant 1, q=1-p$，则称该分布是负二项分布。

当$r$为正整数时就是 Pascal 分布，$r=1$时为几何分布，$r \to +\infty$时为 Poisson 分布。

负二项分布还有如下定义，设非负随机变量$Y$满足 $$P\{Y=k\} = \dfrac{\Gamma(r+k)}{\Gamma(r)\Gamma(k+1)} p^r q^k.$$ 其中，解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://mathoid-facade/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \Gamma(x)} 为 Γ 函数，负二项分布记作$Y \sim NB(r, p).$

特征

$X \sim NB(r, p)$的数学期望和方差分别是 $$E(X) = \dfrac{rq}{p}, \quad D(X) = \dfrac{rq}{p^2}.$$ 它的特征函数是$\left( \dfrac{p}{1-q\text{e}^{\text{i}t}} \right)^r.$

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.