谱函数

在线性算子理论中，谱函数（spectral function）是 Hilbert 空间上定义的一类投影函数，在描述自伴算子的范数、定义自伴算子的分数幂中有重要作用。

在下面的讨论中，我们均假设 Hilbert 空间$H$是实空间，对应的参数$\lambda \in \R$，如果$H$是复空间，那么参数$\lambda \in \C$。

定义

假设有 Hilbert 空间$H$，一族算子值函数$\lambda \mapsto P_{\lambda }$被称为谱函数，如果

1. $P_{\lambda }$是$H$到子空间$H_{\lambda }$的正交投影。
2. $\lambda _{1}<\lambda _{2}$当且仅当$H_{\lambda _{1}}\subset H_{\lambda _{2}}.$
3. 对任意的$x \in H$成立
   $$\lim _{\lambda \to -\infty }\|P_{\lambda }x\|=0,\lim _{\lambda \to +\infty }\|P_{\lambda }x-x\|=0.$$

   这表明$P_{\lambda }$在$\lambda$趋近负无穷时趋近零算子，在$\lambda$趋近正无穷时趋近恒同算子。

   等价于

   $${\overline {\bigcup _{\lambda \in \mathbb {R} }H_{\lambda }}}=H;\bigcap _{\lambda \in \mathbb {R} }H_{\lambda }=\{0\}.$$

4. 右连续性：对任意的$x \in H$成立
   $$\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\|P_{\lambda +\varepsilon }x-P_{\lambda }x\|=0.$$

   等价于对任意$\lambda \in \R$成立

   $$\bigcap _{\varepsilon >0}H_{\lambda +\varepsilon }=H_{\lambda }.$$

空间分解

假设有$\lambda _{0}=-\infty <\lambda _{1}<\lambda _{2}<\cdots <\lambda _{n}<\lambda _{n+1}=+\infty$，定义$P_{\Delta _{i}}=P_{\lambda _{i}}-P_{\lambda _{i-1}}$，于是$\{H_{\Delta _{i}}\}_{i=1}^{n}$是两两互相正交的子空间族，且

$$H=\bigoplus _{i=1}^{n}H_{\Delta _{i}}.$$

这就表明

1. $P_{\Delta _{i}}P_{\Delta _{j}}=O.$对任意$i,j=1,2,\cdots ,n,i\neq j.$
2. $\sum _{i=1}^{n}P_{\Delta _{i}}=I.$

我们也称$\{P_{\Delta _{i}}\}_{i=1}^{n}$是一个单位分解。

谱公式

如果$A$是 Hilbert 空间$H$上的有界自伴算子，那么存在唯一的谱函数$\lambda \mapsto P_{\lambda }$满足对任意$\lambda \in \mathbb {R} ,\varepsilon >0$，定义$\Delta =(\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon ]$，

1. $H_{\Delta }$在算子$A$下不变。
2. 对任意$x\in H_{\Delta }$成立$\|Ax-\lambda x\|\leqslant \varepsilon \|x\|.$即$A$在$H_{\Delta }$上的作用“几乎”是伸缩。

满足上面的性质的$P_{\lambda }$同样也满足：

1. $P_{\lambda }=O,\forall \lambda <-\|A\|.$
2. $P_{\lambda }=I,\forall \lambda \geqslant \|A\|.$

于是对任意的$\varepsilon > 0$，对每个$x \in H$，由于$\bigcup _{j}H_{\Delta _{j}}=H$必存在唯一的$H_{\Delta }$使得$x\in H_{\Delta _{j}}$，于是$\|Ax-\lambda _{j}x\|<\varepsilon \|x\|$意味着

$$\left\|Ax-\sum _{j}\lambda _{j}P_{\Delta _{j}}x\right\|<\varepsilon \|x\|.$$

根据 Lebesgue-Stieltjes 积分的定义得到

$$A=\int _{-\|A\|^{-}}^{\|A\|}\lambda \mathrm {d} P_{\lambda }.$$

这就是有界自伴算子的谱公式（spectral formula）。

如果$A$紧且$H$可分，那么取$A$的单位正交的特征向量族$\{e_{i}\}_{i=1}^{\infty }$，对应的投影算子记作$\{P_{i}\}_{i=1}^{\infty }$就有

$$Ax=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}(x,e_{i})e_{i}.$$

这里$\lambda_i$就是$A$的特征值。

分数次幂

由谱公式，假设$A$半正定，我们可以定义下面的量

$$A^{\tau }=\int _{0}^{\|A\|}\lambda ^{\tau }\mathrm {d} P_{\lambda }.$$

其中$\tau \in \mathbb {R} ^{+}$，我们就称$A^{\tau }$是$A$的$\tau$次幂。

能这样定义当然要考虑到对于正整数$k$而言，

$$A^{k}=\int _{0}^{\|A\|}\lambda ^{k}\mathrm {d} P_{\lambda }.$$

这是合理的，因为$A^k$的特征值都是$A$对应的特征值的$k$次幂，而它们具有相同的不变子空间，自然对于每个谱函数$\lambda \mapsto P_{\lambda }$我们都有

$$A^{k}=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{j}\lambda _{j}^{k}P_{\Delta _{j}}.$$

谱函数积分

下面我们来讨论分数幂定义的一般化——用一般的连续函数$f(\lambda )$代替$\lambda ^{k}$来定义函数作用下的算子。一个特殊的情形是$f(\lambda )=\sum _{i=0}^{m}a_{i}\lambda ^{i}$为多项式的情形，这个时候$f(A)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}A^{i}$，其中$A^0=I$。

有限区间的谱函数积分

令$\lambda \mapsto P_{\lambda }$是$H$上的谱函数，对固定的有限闭区间$[a, b]$及其上的连续函数$f(\lambda )$，如果对任意分划$\Delta :a=\lambda _{0}<\lambda _{1}<\cdots <\lambda _{n}=b$定义

$$S_{f,\Delta }x=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})(P_{\lambda _{i}}-P_{\lambda _{i-1}})x$$

随着$\|\Delta \|=\max _{1\leqslant i\leqslant n}(\lambda _{i}-\lambda _{i-1})\to 0$存在极限，即在 Lebesgue-Stieltjes 积分的意义下可以定义

$$J_{f}x=\int _{a}^{b}f(\lambda )\mathrm {d} P_{\lambda }.$$

同时由于

$$\|S_{f,\Delta }x\|^{2}=(S_{f,\Delta }x,S_{f,\Delta }x)=\sum _{i=1}^{n}|f(\xi _{i})|^{2}(P_{\Delta _{i}}x,x)$$

这是因为$P_{\Delta _{i}}P_{\Delta _{j}}=0,i\neq j$且对投影算子$P$而言，$(Px,Px)=(Px,x).$ 于是取极限

$$\left\|\int _{a}^{b}|f(\lambda )|^{2}\mathrm {d} P_{\lambda }x\right\|^{2}=\int _{a}^{b}|f(\lambda )|^{2}\cdot \mathrm {d} (P_{\lambda }x,x).$$

无限区间的谱函数积分

如果区间$[a, b]$被替换为无界区间，我们采用无穷限积分的定义方式：

$$\int _{-\infty }^{+\infty }f(\lambda )\mathrm {d} P_{\lambda }=\lim _{\overset {a\to -\infty }{\underset {b\to +\infty }{}}}\int _{a}^{b}f(\lambda )\mathrm {d} P_{\lambda }.$$

当然前提是右侧的极限存在，这就表明可能并不是所有的$x \in H$都可以定义上面的量，容易观察到上面的极限存在当且仅当

$$\left\|\int _{-\infty }^{+\infty }|f(\lambda )|^{2}\mathrm {d} P_{\lambda }x\right\|^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }|f(\lambda )|^{2}\cdot \mathrm {d} (P_{\lambda }x,x)<+\infty .$$

在上面的假设下，$J_{f}x=\int _{-\infty }^{+\infty }f(\lambda )\mathrm {d} P_{\lambda }x$就定义了一个$H$上的使得#C1式有限的$x$全体组成的集合上的有界算子，如果$f$本身是有界的，那么$J_{f}$就是$H$上的一个有界线性算子，且$\|J_{f}\|\leqslant \sup _{\lambda \in \mathbb {R} }|f(\lambda )|.$

无界自伴算子的谱公式

假设$A$是$H$上的稠定的（即定义域$D(A)$在$H$中稠密）无界自伴算子，那么存在唯一的谱函数$\lambda \mapsto P_{\lambda }$使得

1. $x \in D(A)$当且仅当$\int _{-\infty }^{+\infty }|\lambda |^{2}\mathrm {d} (P_{\lambda }x,x)<+\infty .$
2. $Ax=\int _{-\infty }^{+\infty }\lambda \mathrm {d} P_{\lambda }x.$

上面两条性质就表明了

$$\|Ax\|^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }|\lambda |^{2}\mathrm {d} (P_{\lambda }x,x).$$

这是有界自伴算子对应的谱公式的推广，在那里$\|A\|<+\infty .$

自伴算子的谱都是实的，并且如果$\lambda$是$A$的一个正则值（即预解式$(\lambda I - A)^{-1}$在$H$上连续），那么必定会存在$\lambda$的一个开邻域使得$P_{\lambda }$在这个邻域上取常值，这样，记$\sigma (A)$是$A$的谱集，那么

$$Ax=\int _{\sigma (A)}\lambda \mathrm {d} P_{\lambda }x.$$

进一步，如果$A$半正定，即$\sigma (A)\subset [0,+\infty )$，那么 $Ax=\int _{0}^{+\infty }\lambda \mathrm {d} P_{\lambda }x.$

参考资料

1. L.A. Lusternik, V.J. Sobolev, Elements of Functional Analysis(3rd Ed.), International monographs on advanced mathematics & physics, John Wiley & Sons Inc, 1975, ISBN 978-0-4705-5650-4.

参考资料

1. L.A. Lusternik, V.J. Sobolev, Elements of Functional Analysis(3rd Ed.), International monographs on advanced mathematics & physics, John Wiley & Sons Inc, 1975, ISBN 978-0-4705-5650-4.