谱公式

谱公式（spectral formula）或称线性算子的基本谱定理（fundamental spectral theorem）是一个 Hilbert 空间上稠定的（有界或无界的）线性算子的积分表达式，它可用来推广算子的连续函数的概念（特别地，算子多项式和算子分数次幂）。

谱公式

假设$A$是实或复 Hilbert 空间$H$上的稠定的（即定义域$D(A)$在$H$中稠密）无界自伴算子，那么存在唯一的谱函数$\lambda \mapsto P_{\lambda }$使得

1. $x \in D(A)$当且仅当$\int _{-\infty }^{+\infty }|\lambda |^{2}\mathrm {d} (P_{\lambda }x,x)<+\infty .$
2. $Ax=\int _{-\infty }^{+\infty }\lambda \mathrm {d} P_{\lambda }x.$

上面两条性质就表明了 $$\|Ax\|^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }|\lambda |^{2}\mathrm {d} (P_{\lambda }x,x).$$ 对于有界自伴算子而言，由于$\|A\|<+\infty$，那么谱公式就变为 $Ax=\int _{-\|A\|}^{\|A\|}\lambda \mathrm {d} P_{\lambda }x.$ 上述积分均是在 Lebesgue-Stieltjes 积分意义下。

自伴算子的谱都是实的，如果$\lambda$是$A$的一个正则值（即预解式$(\lambda I - A)^{-1}$在$H$上连续），那么必定会存在$\lambda$的一个开邻域使得$P_{\lambda }$在这个邻域上取常值，这样，记$\sigma (A)$是$A$的谱集，那么 $$Ax=\int _{\sigma (A)}\lambda \mathrm {d} P_{\lambda }x.$$ 进一步，如果$A$半正定，即$\sigma (A)\subset [0,+\infty )$，那么 $Ax=\int _{0}^{+\infty }\lambda \mathrm {d} P_{\lambda }x.$

复合算子

假设借助同一个谱函数$\lambda \mapsto P_{\lambda }$定义的两个算子

$$A_{1}=\int _{a}^{b}f_{1}(\lambda )\mathrm {d} P_{\lambda },\quad A_{2}=\int _{a}^{b}f_{2}(\lambda )\mathrm {d} P_{\lambda },$$ 其中$f_1, f_2$在有界区间$[a, b]$上连续，那么我们有 $$A_{1}A_{2}=A_{2}A_{1}=\int _{a}^{b}f_{1}(\lambda )f_{2}(\lambda )\mathrm {d} P_{\lambda }.$$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

实际上，对任意$\varepsilon > 0$存在$\delta > 0$以及分划$\Delta :a=\lambda _{0}<\lambda _{1}<\cdots <\lambda _{n}=b$使得$\|\Delta \|<\delta$且

$$\|A_{i}x-S_{f_{i},\Delta }x\|<\varepsilon \|x\|.$$ 其中 $$S_{f_{i},\Delta }x=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(\lambda )(P_{\lambda _{i}}-P_{\lambda _{i-1}})x.$$ 而 $$S_{f_{2},\Delta }S_{f_{1},\Delta }x=\sum _{i=1}^{n}f_{2}(\lambda )f_{1}(\lambda )((P_{\lambda _{i}}-P_{\lambda _{i-1}})x,x)=S_{f_{1},\Delta }S_{f_{2},\Delta }x.$$ 这就表明在分划$\Delta$的意义下，$\|A_{i}x-S_{f_{i},\Delta }x\|<\varepsilon ^{2}\|x\|.$ 由$\varepsilon$的任意性得到 $$A_{1}A_{2}=A_{2}A_{1}=\int _{a}^{b}f_{1}(\lambda )f_{2}(\lambda )\mathrm {d} P_{\lambda }.$$

当$[a, b]$被替换为无界区间的时候，根据极限的性质同样可以得到上面的结果。

结合后面的算子函数，这将表明：同一个自伴算子$A$，给定连续函数$f_1, f_2$，$f_{1}(A),f_{2}(A)$在它们有公共定义的子空间上都是可交换的。

反过来其实也是正确的：如果自伴算子$A_1,A_2$定义域是相等的且可交换，那么它们必然是某个自伴算子的连续函数。

算子函数

形式

于是，我们可以合理地定义$f(A)$为 $$f(A):=\int _{\mathbb {R} }f(\lambda )\mathrm {d} P_{\lambda }$$ 其中$\lambda \mapsto P_{\lambda }$是$A$唯一对应的谱函数（见#谱公式），如果$f(x)$在包含$[-\|A\|,\|A\|]$的一个开邻域内解析，那么$f(A)$就可以展开为算子级数 $$f(A)=\sum _{i=0}^{\infty }{\dfrac {f^{(n)}(0)}{n!}}A^{n}.$$ 其中$A^{0}=I.$这里等号的意义是，右端级数的部分和按照算子范数收敛到左端的算子。最著名的特例是 Neumann 级数： $$(I-A)^{-1}=\sum _{i=0}^{\infty }A^{n},\quad \forall \sigma (A)\subset (-1,1).$$

不过，算子级数存在收敛半径，因此并不总是有定义，存在这样的情况，$f(A)$的积分表达式对某些$x \in H$有意义，只要$x \in H$满足下面的条件： $$\int _{\mathbb {R} }|f(\lambda )|^{2}\mathrm {d} (P_{\lambda }x,x)<+\infty .$$ 但是$f(A)$未必能展开为算子级数，这个时候$f$在包含$[-\|A\|,\|A\|]$的任何开邻域内都可以是不解析的。

如果$A$是紧算子，记$\lambda _{1},e_{i}$是对应的特征值和特征向量，那么 $$f(A)x=\sum _{i=0}^{\infty }f(\lambda _{i})(x,e_{i})e_{i}.$$

范数

我们将指出：

假设$A$是 Hilbert 空间上的自伴算子，$\sigma (A)$是$A$的谱集，$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$连续且在$\sigma (A)$上有界，那么

$$\|f(A)\|=\sup _{\lambda \in \sigma (A)}|f(\lambda )|<+\infty .$$

即$f(A)$始终是有界算子，不论$A$是否有界。

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一方面 $$\|f(A)x\|=\left\|\int _{\sigma (A)}f(\lambda )\mathrm {d} P_{\lambda }x\right\|\leqslant \sup _{\lambda \in \sigma (A)}|f(\lambda )|\|x\|.$$ 另一方面，对任意固定的$\lambda _{0}\in \sigma (A)$，选择$x\in H_{\Delta }$，其中$\Delta =(\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon )$（参见#谱公式），我们有 $$\|f(A)x\|^{2}=\int _{\Delta }|f(\lambda )|^{2}\mathrm {d} (P_{\lambda }x,x)\geqslant \inf _{\lambda \in \Delta }|f(x)|^{2}\|x\|^{2}.$$ 令$\varepsilon \to 0^+$我们就得到了 $$\|f(A)\|\geqslant |f(\lambda _{0})|,\quad \forall \lambda _{0}\in \sigma (A).$$

参考资料

1. L.A. Lusternik, V.J. Sobolev, Elements of Functional Analysis(3rd Ed.), International monographs on advanced mathematics & physics, John Wiley & Sons Inc, 1975, ISBN 978-0-4705-5650-4.

参考资料

1. L.A. Lusternik, V.J. Sobolev, Elements of Functional Analysis(3rd Ed.), International monographs on advanced mathematics & physics, John Wiley & Sons Inc, 1975, ISBN 978-0-4705-5650-4.