谱

在泛函分析中，对线性算子的谱的研究是很重要的一个研究方向，这个页面主要列出一些有关线性算子的谱的基本概念和结果。

定义

赋范线性空间的算子谱

我们先给出正则算子的概念：假设有赋范线性空间$X, Y$，$A: D(A) \subset X \to R(A) \subset Y$的线性算子。如果逆算子$A^{-1}$存在且是连续线性算子，并有$R(A) = Y$，我们就称$A$是正则算子。

谱就是考察逆算子非正则的情形。假设$X$是复赋范线性空间（谱理论一般来说都是在复数域上研究的，例如矩阵的特征值只有在复数域中才会体现得更好），$A: D(A) \subset X \to X$是线性算子，又假设$\lambda \in \C$，如果$\lambda I - A$是正则算子（这里$I$是恒同算子），我们就称$\lambda$是算子$A$的正则点，并称$R_\lambda(A) = (\lambda I - A)^{-1}$是预解式，正则点全体称为正则集，记作$\rho(A)$。不是$A$的正则点的复数称为$A$的谱点，谱点全体成为谱集，简称谱，记作$\sigma(A).$

对于定义中的线性算子$A$，一个复数$\lambda \in \rho(A)$当且仅当$(\lambda I - A)g = f$对任意$f \in X$都有解，且存在正常数$M > 0$使得$\| g \| \leqslant M \| f \|.$

Banach 代数的算子谱

上面关于赋范线性空间上算子的谱定义可以推广到含幺复 Banach 代数上去：假设$\mathcal{B}$是含幺复 Banach 代数且幺元记作$I$，且有$A \in \mathcal{B}, \lambda \in \C$，若存在$C \in \mathcal{B}$使得

$$C(A - \lambda I) = I, \quad (A - \lambda I)C = I,$$

我们就称$\lambda$是$A$的正则点，且$(A - \lambda I)^{-1} := C$，正则点全体称为正则集$\rho(A)$，否则称为谱点，谱点全体称为谱集，简称谱，记作$\sigma(A).$

谱点的分类

对于一般的线性算子，它的谱点可能十分复杂，因此有必要对其详细分类。

从方程$(\lambda I - A)g = f$的可解性来说，谱点$\lambda \in \sigma(A)$可以分为以下三种：

1. 特征值：$(\lambda I- A)$不可逆，全体特征值称为点谱，记作$\sigma_p(A).$
2. $R(\lambda I - A) \ne X$，这就使得$D(\lambda I - A)^{-1} \ne X$从而$(\lambda I - A)g = f$并非对任意的$f \in X$都可解。
3. $R(\lambda I - A) = X$但是$(\lambda I - A)^{-1}$不连续，即$(\lambda I - A)g = f$的唯一解$g$的变化不能做到连续依赖于$f$的变化。

不是特征值的谱点称为连续谱点，所有连续谱点全体称为连续谱，记作$\sigma_c(A).$

有限维空间上的算子没有连续谱，谱集就是特征值的集合。下面的命题是矩阵多项式特征值计算性质的推广：

假设同上，设$p(t)$是关于$t$的解析函数，那么$\sigma(p(B)) = p(\sigma(B)) := \{ p(\lambda): \lambda \in \sigma(B) \}.$

Neumann 级数

我们通常所熟知的几何级数求和可以推广到算子中去，得到算子形式的 Neumann 级数，这个级数在谱理论中有重要应用：假设$\mathcal{B}$是含幺复 Banach 代数且$A \in \mathcal{B}$，假设$r = \lim_{n \to \infty} \big( \| A^n \| \big)^\frac{1}{n} < 1.$那么

1. $1 \in \rho(A).$
2. $(I - A)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty A^k.$
3. 若$\| A \| < 1$，那么$\| (I - A)^{-1} \| \leqslant \dfrac{1}{1 - \| A \|}.$

加入参数$\lambda\neq0$，相当于考察$I - (\lambda^{-1}A)$这个算子，那么有：假设$\mathcal{B}$是含幺复 Banach 代数且$A \in \mathcal{B}$，假设$r = \lim_{n \to \infty} \big( \| A^n \| \big)^\frac{1}{n} < 1.$那么

1. 如果$|\lambda| > r$，那么$\lambda$是$A$的正则点。
2. 当$|\lambda| > r$时有$(\lambda I - A)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty \dfrac{A^k}{\lambda^{k+1}}.$
3. 当$|\lambda| > \| A \|$时有$\| (\lambda I - A)^{-1} \| \leqslant \dfrac{1}{|\lambda| - \| A \|}.$

进一步，可以证明正则点集的开性：假设$\mathcal{B}$是含幺复 Banach 代数且$A \in \mathcal{B}$，那么

1. $\rho(A)$是开集。
2. 若$\rho(A) \ne \varnothing$，记$r_{\lambda_0} := \lim_{n \to \infty} \big( \| \lambda_0 I - A)^{-n} \| \big)^\frac{1}{n}.$则当$\lambda \in \{ \lambda \in \C: |\lambda - \lambda_0| < r_{\lambda_0}^{-1}$时$\lambda$是$A$的正则点且$(\lambda I - A)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\lambda_0 I - A)^{-(n+1)} (\lambda - \lambda_0)^n.$

进一步得到如下推论：

1. $\sigma (A)$是闭集。
2. $\sup_{\lambda \in \sigma(A)} |\lambda| \leqslant \lim_{n \to \infty} \big( \| A^n \| \big)^\frac{1}{n}.$

对于复 Banach 空间上的连续线性算子，上述若干性质均成立。

谱半径

设$X$是赋范线性空间， $A \in L(X)$，或者$A$是含幺 Banach 代数中的元素。记

$$r(A) := \max_{\lambda \in \sigma(A)} |\lambda|$$

为$A$的谱半径。显然$r(A) \leqslant \| A \|$，在应用场合我们往往需要估计一个算子的谱半径。

Gelfand 定理断言：含幺复 Banach 代数中的元素$A$的谱半径为$r(A) = \lim_{n \to \infty} \big( \| A^n \| \big)^\frac{1}{n}.$且如果该 Banach 代数是非平凡的，那么$A$的谱集非空。

如果$A, B$是复 Banach 空间上的连续线性算子，那么

1. $r(AB) = r(BA).$
2. 若$AB = BA$，则$r(A + B) \leqslant r(A) + r(B).$

近似谱和剩余谱

谱的另外一种划分是近似谱和剩余谱，它们是通过序列收敛概念定义的：设$A$是复赋范线性空间$X$上的连续线性算子，$\lambda \in \C$，如果存在一列单位向量$\{ x_n \}_{n \in \N} \subset X$使得

$$\lim_{n \to \infty} (\lambda I - A) x_n = 0.$$

我们就称$\lambda$是$A$的近似谱点，$A$的近似谱点全体称为近似谱，记作$\sigma_a(A)$，不是近似谱点的复数称为剩余谱点，剩余谱点的全体称为剩余谱，记作$\sigma_r(A).$ 关于近似谱和剩余谱有性质：

1. $\sigma_a(A) \cap \sigma_r(A) = \varnothing, \sigma_a(A) \cup \sigma_r(A) = \sigma(A).$
2. $\sigma_p(A) \subset \sigma_a(A).$
3. $\sigma_r(A)$是开集。
4. $\sigma (A)$的边界是近似谱。
5. $\sigma_a(A)$是闭集，且$\sigma_a(A) \ne \varnothing.$
6. 如果$X$是完备的，那么$\sigma_r(A) \subset \sigma_p(A^*).$

不变子空间

算子谱理论中的一个重要研究课题是对不变子空间进行的，假设有赋范线性空间$X$上的线性算子$A$，$X_0$是$X$的线性子空间，如果$AX_0 = X_0$，我们就称$X_0$是$A$的不变子空间。

还有更多有关概念诸如超不变子空间和最小不变子空间，详见不变子空间。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.