计数测度

在测度论中，计数测度（counting measure）是一种特殊的测度，Dirac 测度是限制在一个单点集上的计数测度在全空间上的零延拓。

定义

假设$X$是非空集合，$2^X$是它的幂集，函数$f: X \to [0, +\infty]$，在$2^X$上定义$\mu$如下 $$\mu(E) = \sum_{x \in E} f(x), \quad \forall E \in 2^X.$$ 如果$E$是不可数集合，那么上述求和是不可数求和。可以验证$\mu$是$(X, 2^X)$上的一个测度。进一步，$\mu$是 σ 有限的当且仅当对任意$x \in X$，$f(x) < +\infty$且$\{ x \in X: f(x) > 0 \}$至多可数。

对任意的$x \in X$，令$f(x) = 1$，我们就称按上述定义出的$\mu$是计数测度，$\mathbb{N}$上的计数测度有着很重要的应用，它是 σ 有限的，用以定义$l^p$空间中的积分。计数测度的等价定义是 $$\mu(A) = \begin{cases} \text{card}(A), & \text{card}(A) < +\infty, \\ +\infty, & \text{otherwise}, \end{cases} \quad A \in 2^X.$$ 其中$\text{card}(A)$是集合$A$的基数，有限集$A$的基数就是其中元素的个数。

如果$f$在$x_0 \in X$处取值为一而在其它地方取值为零，那么$\mu$就是关于$x_0$的 Dirac 测度。

绝对连续性

假设有可测空间$(X, 2^X)$，$\mu$是$X$上的计数测度，另有$X$上的测度$\varphi$，那么注意到$\mu(A) = 0$蕴含$A = \varnothing$，而$\varphi(\varnothing) = 0$可知$\varphi$关于$\mu$绝对连续。进一步$\mu$是 σ 有限的当且仅当$X$是可数集，在这时根据 Radon-Nikodym 定理可知$\varphi$关于$\mu$的 R-N 导数存在。

注意：如果$X$不可数且$\varphi$是非零的连续测度（即满足单点测度为零但是$\mu(X) > 0$，特别地，$\R^n$上的 Lebesgue 测度），那么$\varphi$关于$\mu$的 R-N 导数一定不存在（进一步自然就不存在 Lebesgue 分解），这是因为如果它存在不妨记作$\lambda$，那么对任意$x \in X$我们有$\varphi(\{ x \}) = 0$但是$\mu(\{ x \}) = 1$，这就表明$\lambda(x) = 0$，于是$\lambda=0$，$\mu(X) = 0$与假设矛盾。

可测函数

假设有可测空间$(X, 2^X)$，$\mu$是$X$上的计数测度，那么$X$上的任意一个广义实值或复值函数都是可测函数，这是因为$X$的任意子集都是可测集。

几乎处处

假设$(X, 2^X)$是可测空间，$\mu$是其上的计数测度，那么函数$f: X \to \R$在$\mu$意义下几乎处处是零当且仅当它是零函数，即$f(x) = 0, \forall x \in X.$这是因为$\mu(A) = 0$当且仅当$A = \varnothing.$

因此函数列的几乎处处收敛等价于处处收敛。

依测度收敛

假设有可测空间$(X, 2^X)$，$\mu$是$X$上的计数测度，$X$上的实值或复值函数列$\{ f_n \}$依测度收敛的定义是

对任意$\varepsilon, \delta > 0$存在$N \in \N$使得当$n > N$时$$\mu(\{ x \in X: |f_k (x) - f(x)| \geqslant \varepsilon \}) < \delta.$$

取$\varepsilon < 1$就得到$\{ x \in X: |f_k (x) - f(x)| \geqslant \varepsilon \} = \varnothing.$即对任意$|f_k (x) - f(x)| < \delta$对任意$x \in X$成立，即$f_n$一致收敛到$f.$反过来也是对的，因此在这种情况下依测度收敛等价于一致收敛。

σ 有限与可积性

假设$(X, 2^X)$是可测空间，$\mu$是其上的计数测度，如果$X$是可列集，不妨假设为$\N^+$，那么函数$f: X \to \C$的积分就是 $$\int f \mathrm{d}\mu = \sum_{i=1}^\infty f(i).$$ 因此$f$在$\mu$的意义下绝对可积当且仅当级数$\sum_{i=1}^\infty f(i)$绝对收敛，这就是$l^1$空间，进一步可以定义$l^p$空间，详见离散 lp 空间。

如果$X$是有限集，不妨假设它是$\{ 1, 2, \cdots, n \}$，那么$f: X \to \C$总是可积的，它的积分就是 $$\int f \mathrm{d}\mu = \sum_{i=1}^n f(i).$$ 测度空间$X$上的可测函数空间和$\C^n$同构。

参考资料

1. 程士宏, 《测度论与概率论基础》, 北京大学出版社, 北京, 2006-06, ISBN 978-7-3010-6345-3.