解线性方程组

有了矩阵、行列式、向量组的知识后，我们讨论线性方程组的解的问题。

解的存在问题

定理：线性方程组$AX = b$的系数矩阵的秩不大于增广矩阵的秩，且该方程组有解当且仅当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。

这个定理是从向量形式中得出的，原方程组有解当且仅当$b$可以被$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$线性表出，当且仅当$\operatorname{rank} (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n) = \operatorname{rank} (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, b)$

因此，可将增广矩阵$(A~~b)$通过初等行变换化为阶梯形矩阵，观察最后一个非零行的第一个非零元素的位置，如果它在该行最后一个位置，则原方程组无解，其余情况有解。

对于$n$阶非齐次线性方程组$AX = b$，有唯一解当且仅当$|A| \ne 0.$

齐次线性方程组的解

作为一个特例，我们先来解齐次线性方程组，它总是有平凡解的，我们来考虑非平凡解。

基础解系

我们假设$\mathbb{P}$上的齐次线性方程组$AX = \theta$有非零解$X, Y$，那么$X + Y$也是$AX = \theta$的解，因为$A(X+Y) = AX + AY = \theta$，对任意的$k \in \mathbb{P}$，$kX$也是$AX = \theta$的解，齐次线性方程组若有非平凡解，那它必有无穷多个非平凡解。因此我们把$AX = \theta$的所有解的集合叫做齐次组$AX = \theta$的解空间，它的全部解可以用一个线性无关的向量组$X_1, X_2, \cdots, X_s$表示.

因此，解一个齐次线性方程组的关键就是找出这样的一个向量组，它是所有解组成的向量组的极大线性无关组，这个极大组被称为是原线性方程组的基础解系。

解法

设$A \in \mathbb{P}^{m \times n}$，$AX = \theta$有非零解$(k_1, k_2, \cdots, k_n)^\text{T}$，当且仅当下式成立 $$k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_n \alpha_n = \theta$$ 当且仅当$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$线性相关，当且仅当$r = \operatorname{rank} A < n$

定理：设$r = \operatorname{rank} A$，则齐次线性方程组$AX = \theta$的基础解系中$n-r$个向量，从而这个方程组的通解为 $$X = k_1 X_1 + k_2 X_2 + \cdots + k_{n-r} X_{n-r}.$$ 其中$k_1, k_2, \cdots, k_s \in \mathbb{P}.$

证明：由于$r < n$，所以其中$A$的行秩为$r$，经过方程组的适当行交换（系数矩阵的行交换），可使$A$的前$r$行为线性无关的，这样后$m-r$行的行向量可用前$r$行的行向量线性表出，这样反映在线性方程组上就是后$m-r$行方程是无效方程。因此原方程组和下述方程组同解 $$\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = 0 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = 0 \\ \cdots \\ a_{r1} x_1 + a_{r2} x_2 + \cdots + a_{rn} x_n = 0 \\ \end{cases}$$ 将上式中的后$n-r$个变元移到等式右侧，于是有 $$\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1r} x_r = - a_{1,r+1} x_{r+1} + \cdots - a_{1,n} x_n \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2r} x_r = - a_{2,r+1} x_{r+1} + \cdots - a_{2,n} x_n \\ \cdots \\ a_{r1} x_1 + a_{r2} x_2 + \cdots + a_{rr} x_r = - a_{r,r+1} x_{r+1} + \cdots - a_{r,n} x_n \\ \end{cases}$$ 由于 $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1r} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2r} \\ \cdots \\ a_{r1} & a_{r2} & \cdots & a_{rr} \\ \end{vmatrix} \ne 0$$ 将$x_{r+1}, \cdots, x_n$视为已知元，则上述方程组有唯一解。

令$\begin{pmatrix} x_{r+1} \\ \vdots \\ x_{r+k} \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \cdots k$，这时得到一组解$X_k = \begin{pmatrix} c_{k1} \\ c_{k2} \\ \vdots \\ c_{kr} \end{pmatrix}$。令$k = 1,2,\cdots,n-r$，于是方程组的一个基础解系为 $$X = k_1 X_1 + k_2 X_2 + \cdots + k_{n-r} X_{n-r}$$ 其中$k_1, k_2, \cdots, k_{n-r} \in \mathbb{P}.$

这样就解出了齐次线性方程组。

非齐次线性方程组

设$AX = b$的导出组为$AX = \theta$，$X_0$为$AX = b$的一个特解，那么$AX = b$的通解为 $$X = X_0 + k_1 X_1 + k_2 X_2 + \cdots + k_{n-r} X_{n-r}$$ 其中$k_1, k_2, \cdots, k_{n-r} \in \mathbb{P}.$

上下节

• 上一节：线性方程组
• 下一节：Cramer 法则