解析延拓

在解析函数论中，解析延拓是将一个在某区域内解析的函数的定义域扩大到更大的区域上的行为，延拓的基本原则是延拓后的函数在原来的区域上和原函数等值，其方法主要有直接延拓、幂级数方法和对称原理法。

基本概念

设定义在复平面的区域$D$上的解析函数$f(z)$，如果存在另外一个定义在$G \supset D$上的解析函数$F(z)$，使得$F(z) = f(z), \forall z \in D$，我们就称函数$F(z)$是$f(z)$从$D$到$G$的一个解析延拓。

由解析函数的唯一性，如果解析函数$f(z)$可以延拓到$G$上，那么延拓后的解析函数$F(z)$必定是唯一的。

为了区分不同的函数及它们延拓后的函数，我们必须要指出函数的定义区域，因此引入解析函数元素的定义：称一个单值解析函数$f(z)$连同它的解析区域$D$为一个解析函数元素$\{D, f(z)\}$，两个解析函数元素相等时说解析区域重合且在解析区域上函数恒等。

直接解析延拓

设有两个解析函数元素$\{D_1, f_1(z)\}$和$\{D_2, f_2(z)\}$，其中$D_{12} = D_1 \cap D_2$是一个非空区域，且$f_1(z) = f_2(z), \forall z \in D_{12}$，那么我们可得到下面的函数

$$F(z) = \begin{cases} f_1(z), & z \in D_1 - D_{12}, \\ f_2(z). & z \in D_2 - D_{12}, \\ f_1(z) = f_2(z), & z \in D_{12}. \end{cases}$$

是$\{D_1, f_1(z)\}$和$\{D_2, f_2(z)\}$在$D_1 \cup D_2$上的解析延拓，同时我们称$\{D_1, f_1(z)\}$和$\{D_2, f_2(z)\}$互为直接解析延拓。

将上述过程持续下去，如果参与延拓的函数元素不止两个，即有一个解析函数元素有序集合$\{\{D_k, f_k(z)\}\}_{k=1}^n$，其中后一个元素都是前一个元素的直接解析延拓，我们就称这个有序集合为一个解析延拓链，每两个不相邻的解析函数元素都互为间接解析延拓，需要注意的是，这种情况下，间接解析延拓的两个解析函数元素的定义域的交集可能非空，而在交集上两个函数值不等，这样就形成了一个多值函数。间接解析延拓是可以形成多值函数的。

幂级数方法

幂级数方法是解析延拓最基本最通用的方法，其缺点是操作繁琐。

设有一个解析函数元素$\{D, f(z)\}$，它在点$z_0 \in D$内有泰勒展式

$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n},$$

它的收敛半径如果是无穷大，那么函数$f(z)$就可以延拓到整个复平面上去。

一般来说，函数$f(z)$会有奇点，这时对应幂级数#A1的收敛半径为有限值$R \in \R^+$，这时在收敛圆周$|z - z_0| = R$上一定存在和函数的奇点。现在考虑这样的情形，假设收敛圆$|z - z_0| = R$和$D$的外部的交集$S$非空，选定一点$z_1 \in S$，再在该点处进行泰勒展开

$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {f^{(n)}(z_{1})}{n!}}(z-z_{1})^{n},$$

它的收敛半径为$R_2$，显然有

$$R - |z_1 - z_0| \leqslant R_1 \leqslant R + |z_1 - z_0|$$

1. 当$R_1 = R - |z_1 - z_0|$时，#A2的收敛圆内部$|z - z_1| < R_1$全含于#A1的收敛圆内部$|z-z_0| < R$，也就是说从$z_0$到$z_1$的方向上不能做延拓，两收敛圆周的切点就是函数的奇点。
2. 当$R_1 > R - |z_1 - z_0|$时，#A2的收敛圆内部$|z - z_1| < R_1$含有#A1的收敛圆内部$|z-z_0| < R$的之外的部分，在外面的部分用#A2的展式形式定义出的新函数就是原函数的一个解析延拓。

幂级数延拓就是使用第二种方法将函数不断延拓到更大的区域上去，但是，如果函数总是满足第一种情形，或者选任何点$z_0 \in D$都连假设收敛圆$|z - z_0| = R$和$D$的外部的交集$S$非空都不满足，那么这样是不能进行延拓的。

上述延拓方法，是关注于幂级数收敛圆周的某一个方向的延拓。

透弧解析延拓

设有两个解析函数元素$\{D_1, f_1(z)\}$和$\{D_2, f_2(z)\}$，其中$C = \partial D_1 \cap \partial D_2$是一有界闭曲线（是两区域$D_1, D_2$的公共边界部分），且$f_1(z) = f_2(z), \forall z \in C$在边界$C$上连续，那么我们可得到下面的函数

$$F(z) = \begin{cases} f_1(z), & z \in D_1, \\ f_2(z). & z \in D_2, \\ f_1(z) = f_2(z), & z \in C. \end{cases}$$

是$\{D_1, f_1(z)\}$和$\{D_2, f_2(z)\}$在$D_1 + D_2 + C$上的解析延拓，同时我们称$\{D_1, f_1(z)\}$和$\{D_2, f_2(z)\}$互为透弧解析延拓。

对称原理

以下关于透弧解析延拓的定理，可以使解析函数的定义域扩大一倍：
设分居$z$平面上下两半平面的两个区域$D_1, D_2$关于实轴对称，且有公共边界$S$，函数$f(z)$在$D_1$上解析，在边界$S$上连续且取实数值。那么函数元素$\{D_1, f(z)\}$可以透弧解析延拓，得到$\{ D_1 + D_2 + S, F(z) \}$，且$F(z) = \overline{f(\overline{z})}, \forall z \in D_2.$

将该定理推广，使用共形映射的语言，得到下述更一般的定理：
设分居$z$平面上某圆弧或线段$S$两侧的两个区域$D_1, D_2$关于$S$对称，且有公共边界$S$，函数$f(z)$在$D_1$上单值解析，在边界$S$上连续，并且它将$D$共形映射为$G$，将$S$一一映射为$f(S)$，分居$w$平面上$f(S)$两侧的两个区域$G_1, G_2$关于$f(S)$对称，且有公共边界$f(S)$。那么函数元素$\{D_1, f(z)\}$可以透弧解析延拓，得到单值解析函数元素$\{ D_1 + D_2 + S, F(z) \}$，且$F(z)$将区域$D_1 + D_2 + S$共形映射为$G_1 + G_2 + f(S).$

上下节

• 上一节：共形映射
• 下一节：完全解析函数

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.