解析变换

对解析函数的研究可以通过分析的方法进行，也可以研究一个解析函数的变换性质（几何性质），这些工作最初由 Riemann 完成，他提出的两个问题：一个解析函数将给定的曲线变成什么曲线；将某给定曲线变成另一给定曲线的变换（特别地，解析变换）是否存在以及如何寻找，推动了对解析函数的变换性质的研究。

保域性

保域定理：设复变函数$f(z)$在区域$D$内解析且不恒为常数，那么它的像集$f(D)$也是一个区域。特别地，当$f(z)$在区域$D$内一一（单值解析）时，像集$f(D)$也是一个区域。

以下定理是一元实函数的反函数存在定理的推广：
若函数$f(z)$在点$z = z_0$处解析，且$f'(z_0) \ne 0$，则$f(z)$在$z_0$的一个邻域中是一个一一变换（即存在反函数）。

上述性质是一个拓扑性质，下面的保角性则是解析变换的度量性质。

保角性

首先我们需要对曲线做一些说明，对于任意一个曲线$C$，假设它有参数表示$C: z = z(t)$，规定参数增大的方向为曲线的正向，在其上一点$z_0 = z(t_0)$处满足$z'(t_0) \ne 0$，易知曲线$C$在$z_0 = z(t_0)$的切向量是$z'(t_0)$（将复数视作向量），该切向量与$x$轴正向的夹角$\varphi = \arg z(t_0)$。

导数辐角的几何意义

设函数$f(z)$在$z = z_0$处解析，那么$C$在这一点的邻域中存在像曲线$\mathit{\Gamma}: w(t) = f(z(t))$，注意到函数求导的链式法则$w'(t_0) = f'(z_0) z'(t_0)$，像曲线在$w = w(t_0)$一点的切向量的辐角$\psi = \arg f'(z_0) + \arg z(t_0)$，这表明，解析函数$f(z)$在点$z_0$处的导数的辐角，就是定义域曲线$C$在函数$f(z)$的变换下按点$z_0$转过的角度 $$\arg f'(z_0) = \psi - \varphi.$$ 我们就称$\arg f'(z_0)$为旋转角，这是解析函数导数的辐角的几何意义。

相交于点$z_0$的任意两条曲线$C_1: z = z_1(t), z_0 = z_1(t_0), C_2: z = z_2(t), z_0 = z_2(t_0)$之间的夹角在其大小和方向上都等于经过解析变换$w = f(z)$后它们各自分别对应的像曲线$\mathit{\Gamma}_1: w = w_1(t), C_2: w = w_2(t)$之间的夹角，即 $$\arg f'(z_0) = \arg w'_2(t_0) - \arg w'_1(t_0) = \arg z'_2(t_0) - \arg z'_1(t_0).$$ 上式在相差$2\pi$的整数倍的意义下成立。至于以上叙述中所提到的曲线之间的夹角，我们规定它是两条曲线选定正向（参数增大的方向）后在交点处的切线（切向量）的正向的夹角。

导数模的几何意义

假设同上，设$|f(z_0)| = R > 0$，由导数定义有 $$|f'(z_0)| = \lim_{\Delta z \to 0} \left|\dfrac{\Delta w}{\Delta z}\right| = \lim_{z \to z_0} \dfrac{\Delta \rho}{\Delta s} = R$$ 上式中的$\Delta \rho$表示像点之间的距离，$\Delta s$表示原像点之间的距离。因此导数的模的几何意义是曲线$C$在变换$f(z)$下于点$z_0$的某邻域中的伸张系数，也称作伸缩率。当$R > 1$时，由$z_0$出发的任意无穷小距离映射后被伸长了；当$R < 1$时，由$z_0$出发的任意无穷小距离映射后被压缩了。

保角变换

上述分析可以让我们自然地引出如下定义：
若函数$w = f(z)$在点$z_0$的某邻域中有定义，且在$z_0$处具有伸缩率不变性以及过$z_0$的任意的两条曲线的夹角在变换$f(z)$下夹角大小方向都不变，我们就称函数$f(z)$在$z_0$处是第一类保角变换。当$f(z)$在某区域$C$中的任意一点都保角，就称它在区域$D$内是一个保角变换。显然，解析函数在导数不为零的区域上是保角变换（而在导数为零的地方不再具有保角性质）。

若函数$w = f(z)$在点$z_0$的某邻域中有定义，且在$z_0$处具有伸缩率不变性以及过$z_0$的任意的两条曲线的夹角在变换$f(z)$下夹角大小不变但方向相反，我们就称函数$f(z)$在$z_0$处是第二类保角变换。这一类变换不再是解析的了，它的一个典型例子是共轭变换$w = \overline{z}.$

共形性

设复变函数$f(z)$在区域$D$内是单射且保角的，称此变换$f(z)$在$D$内是共形映射，或保形映射。若解析函数$f(z)$在点$z_0$的导数非零，那么在它的一个邻域中是共形映射，这是局部共形。

在区域$D$内单值解析的函数$w = f(z)$将区域$D$共形映射成区域$f(D)$，且反函数$z = f^{-1} (w)$在区域$f(D)$内单值解析，并有 $$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w} f^{-1} (w_0) = \dfrac{1}{f'(z_0)}, w_0 = f(z_0), z_0 \in D.$$

上下节

• 上一节：对数留数
• 下一节：分式线性变换

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.