解析函數

解析函數是複變函數主要研究的對象，它是一種條件更強的可微函數，解析函數具有十分良好的性質，它比一元實函數的連續性以及可導性性質更好。

定義

設定義在區域$D$上的複變函數$w = f(z)$在區域$D$上可微，我們就說該函數是區域$D$上的解析函數、全純函數或正則函數，如果$w = f(z)$在$z_0$的某個鄰域內可微，就說該函數在點$z_0$解析。在某點解析的條件比在某點可微的條件更強，它必須要求在這個點的鄰域內可微，因此在某點解析的函數是無窮可微的，但在某一點無窮可微的函數不一定在該點解析，這樣的函數是存在的。

如果複變函數$w = f(z)$在閉域$\overline{D}$上解析，是說該函數在包含這個閉域的一個區域上解析。

如果複變函數$w = f(z)$在點$z_0$不解析，但是在$z_0$的任意鄰域內總有這個函數的解析點，我們就說$z_0$是該函數的奇點。在某個區域內如果某個函數有有限個奇點，它也可以算作是這個區域上的解析函數，因為我們研究解析函數的性質，着重在它的解析點上，因此容許有限個不解析點（奇點）存在。

在某個區間上處處不解析的函數是存在的，這類函數不在解析函數的研究範疇之內，諸如$f(z) = |z|.$

C.-R. 方程

設定義在區域$E$上的複變函數$w = f(z) = u(x, y) + \text{i} v(x, y)$，稱如下的方程組為對應於$z = x + \text{i} y$的 Cauchy-Riemann 方程（柯西-黎曼方程），簡稱為 C.-R. 方程 $$\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y}, \quad \dfrac{\partial u}{\partial y} = -\dfrac{\partial v}{\partial x}.$$ 它是判斷複變函數在某點（區域）解析的必要條件，即如果複變函數在某點（區域）內解析，那麼必然滿足 C.-R. 方程，不滿足該方程的點或區域上該函數都不解析。

由此可得函數$w = f(z) = u(x, y) + \text{i} v(x, y)$在定義域內一點$z = x + \text{i} y$可微的充要條件是二元函數$u(x, y), v(x, y)$在點$(x,y)$可微且滿足 C.-R. 方程。

函數$w = f(z) = u(x, y) + \text{i} v(x, y)$在區域$D$上解析的充要條件是二元函數$u(x, y), v(x, y)$在區域$D$上可微且滿足 C.-R. 方程。

性質

由於解析函數也是（無窮）可微函數的一種，可微函數的性質它也都具備，諸如求導法則、連續性、局部有界等等。

1. 無窮可微性：由一個解析函數在某一點的解析性可以推出它在這一點的各階導數存在，這是後續冪級數展開的基礎。
2. 平均值定理：設函數$f(z)$在開圓盤$|z-z_0| < R$上解析，在$|z - z_0| \leqslant R$上連續，那麼$$f(z_0) = \dfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(z_0 + R \text{e}^{\text{i}\varphi}) \mathrm{d}\varphi$$
3. 極值原理（最大模原理）：設在區域$D$內解析的不恆為常數的函數$f(z)$，它的模長$|f(z)|$在$D$中的任何點都達不到最大值。
4. Cauchy 不等式：設區域$D$的邊界是周線$C$，複變函數$f(z)$在$D$內解析，在$D + C$上連續，設$z_0 \in D$，圓周$|z - z_0| = R$及其內部全在區域$D$中，那麼有$$\left| f^{(n)} (z_0) \right| \leqslant \dfrac{n! M}{R^n}, \quad z_0 \in D.$$其中，$R = |z - z_0|, M = \sup_{|z - z_0| = R} |f(z)|.$實際上，$M$的定義可以改為$M = \sup_{|z - z_0| < R} |f(z)|.$
5. 零點孤立性：非常數函數的解析函數的零點是孤立的。
6. 唯一性定理：設在區域$D$內解析的函數$f(z)$和$g(z)$，如果存在一個收斂點列$\{ z_n \}_{n=1}^\infty$有$f(z_n) = g(z_n)$，其中$z_n \ne 0$，則$f(z)$和$g(z)$在$D$內恆等。
7. Schwarz 引理：在單位圓$|z| < 1$內解析的函數$f(z)$，如果$f(0) = 0, |f(z)|<1$，則在單位圓內恆有$|f(z)| \leqslant |z|, |f'(0)| \leqslant 1.$
8. 解析變換與共形映射：揭示解析函數導數的幾何意義以及解析函數的變換性質。

解析的等價刻畫

1. Cauchy-Riemann 方程：見上。
2. Cauchy 積分定理及逆定理：函數$f(z)$在單連通區域$D$內解析，當且僅當對任意周線$C \in D$，有$\int_C f(z) \mathrm{d}z.$
3. 解析函數的泰勒展式：函數$f(z)$在點$z_0$處解析，可以在該點的某鄰域內展成泰勒展式$$f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (z - z_0)^n$$其中，$$c_n = \dfrac{f^{(n)} (z_0)}{n!} = \dfrac{1}{2\pi\text{i}} \int_{C'} \dfrac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \mathrm{d}\zeta$$

上下節

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參考資料

1. 鍾玉泉, 《複變函數論（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.