解析函数的零点性质

在复变函数论中，借助解析函数的泰勒展式对解析函数的零点性质研究可以得到解析函数诸多良好的性质。

解析函数的零点

设复变函数$f(z)$在区域$D$内解析，且$\exists z_0 \in D, f(z_0) = 0$，我们就称$z_0$是函数$f(z)$的一个零点。

如果存在一正整数$m$使得对任意非负整数$0 \leqslant k \leqslant m$都有$f^{(k)}(z_0) = 0$，但$f^{(m+1)} (z_0) \ne 0$，我们就称$z_0$是$f(z)$的$m$阶零点。

$z_0$是函数$f(z)$的$m$阶零点的充要条件是，存在$D$上的解析函数$g(z)$，使得 $$f(z) = (z - z_0)^m g(z)$$ 其中，$g(z_0) \ne 0.$

如果函数$f(z)$有一个零点$z_0 \in D$，且对任意$R > 0$，设开圆盘$K: |z - z_0| < R$，在$K \cap D$中总有异于$z_0$的$f(z)$的零点，我们就说$z_0$是函数$f(z)$的聚零点，反之如果存在$R_0 > 0$，设开圆盘$K: |z - z_0| < R_0$，在$K \cap D$中只有$z_0$一个零点，我们就说$z_0$是$f(z)$的孤立零点。

孤立性定理

定理：在区域$D$上解析的函数$f(z)$，如果$z_0 \in D$是它的一个零点，要么$f(z)$恒为零，此时$z_0$是它的聚零点，要么$f(z)$以$z_0$作为它的孤立零点。

实际上，只要$z_0$是$f(z)$的一个聚零点，那么在$z_0$的一个邻域内$f(z)$必恒为零。

如果$f(z)$有聚零点，那么在该聚零点的开圆盘$K$内的解析区域中恒为零，这样可以推出在更大的区域上$f(z)$恒为零，这样一直继续下去，直到$f(z)$恒为零的结论延拓到整个$f(z)$的解析区域，因此

定理：在区域$D$上解析的函数$f(z)$，如果$z_0 \in D$是它的一个聚零点，那么在$D$上$f(z)$恒为零。

唯一性定理

设在区域$D$内解析的函数$f(z)$和$g(z)$，如果存在一个收敛点列$\{ z_n \}_{n=1}^\infty$有$f(z_n) = g(z_n)$，其中$z_n \ne 0$，则$f(z)$和$g(z)$在$D$内恒等。

解析函数的唯一性定理，是解析函数的又一最重要性质，它的证明考虑$h(z) = f(z) - g(z)$即可。

唯一性定理告诉我们，在局部上的性质就决定了解析函数的全局性质，他还有一个重要推论：所有在实数域（或区间、有聚点的子集）中成立的恒等式，只要等式左右两侧在某个复平面区域$D$上解析，那么在$D$上依然成立。

上下节

• 上一节：解析函数的泰勒展式
• 下一节：最大模原理

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.