解析函数的洛朗展式

在复变函数论中，解析函数的 Laurent（洛朗）展式是研究解析函数奇点性质的重要工具，它是解析函数的泰勒展式的推广，同时也弥补了 Taylor 公式仅在解析区域的一部分有意义的弊端。

双边幂级数

设有两个复函数项级数（第一个是复幂级数）

$$\begin{align} \sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n & = c_0 + c_1 (z-z_0) + c_2 (z-z_0)^2 + \cdots, \\ \sum_{n=1}^\infty c_{-n} (z-z_0)^{-n} & = \dfrac{c_{-1}}{z-z_0} + \dfrac{c_{-2}}{(z-z_0)^2} + \cdots. \end{align}$$

设第一个幂级数的收敛半径是$0 < R \leqslant +\infty$，和函数为$f(z)$；在第二个级数中，令$\xi = \dfrac{1}{z-z_0}$，这样它就是一个幂级数，设它的收敛半径是$0 \leqslant r < \infty$，这样第二个级数在$|z - z_0| > r$上一致收敛，和函数为$f_2(z)$。

定义下述双边幂级数

$$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }c_{-n}(z-z_{0})^{-n}.$$

它至少在圆环$Q: r < |z - z_0| < R$上一致收敛，这个圆环称作该双边幂级数的收敛圆环。

由解析函数幂级数的性质，可推知双边幂级数也有如下性质

1. 和的解析性：上述定义的双边幂级数#A1在收敛圆环上绝对收敛且一致收敛于$f(z) = f_1(z) + f_2(z)$;
2. 可积性：函数$f(z)$可沿任意$C \in Q$逐项积分；
3. 可微性：函数$f(z)$在$Q$内存在无穷阶导数，且导函数在$Q$内依然解析。

Laurent 展式

双边幂级数在收敛圆环上和一个解析函数一一对应，下面的 Laurent 定理说明了解析函数可以在某圆环上展成双边幂级数：

在圆环$Q: r < |z - z_0| < R$内解析的函数$f(z)$必定可以展成双边幂级数

$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n (z -z_0)^n, \forall z \in Q.$$

上式右端的级数称作 Laurent 级数，其中，

$$c_n = \dfrac{1}{2\pi\text{i}} \int_{|\zeta-z_0|=\rho} \dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}} \mathrm{d} \zeta.$$

是 Laurent 系数，注意它没有像 Taylor 系数那样的微分形式$\dfrac{f^{(n)} (z_0)}{n!}$，是因为在$z = z_0$处级数$\sum_{n=1}^\infty c_{-n} (z - z_0)^{-n}$没有定义。

为后续研究本质奇点的需要，我们也把$\sum_{n=1}^\infty c_{-n} (z - z_0)^{-n}$称作主要部分，把$\sum_{n=0}^\infty c_n (z - z_0)^n$称作正则部分。虽然$z = z_0$可能不是$f(z)$的奇点，但一定是主要部分的奇点，因此，合理选择 Laurent 展式的收敛圆环中心是被推荐的，一般选择函数$f(z)$的奇点作为圆环中心展开级数。

上下节

• 上一节：最大模原理
• 下一节：解析函数的孤立奇点

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.