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复变函数论中,解析函数的 Laurent(洛朗)展式是研究解析函数奇点性质的重要工具,它是解析函数的泰勒展式的推广,同时也弥补了 Taylor 公式仅在解析区域的一部分有意义的弊端。

双边幂级数[]

设有两个复函数项级数(第一个是复幂级数

设第一个幂级数的收敛半径是,和函数为;在第二个级数中,令,这样它就是一个幂级数,设它的收敛半径是,这样第二个级数在上一致收敛,和函数为

定义下述双边幂级数

它至少在圆环上一致收敛,这个圆环称作该双边幂级数的收敛圆环。

由解析函数幂级数的性质,可推知双边幂级数也有如下性质

  1. 和的解析性:上述定义的双边幂级数#A1在收敛圆环上绝对收敛且一致收敛于;
  2. 可积性:函数可沿任意逐项积分;
  3. 可微性:函数内存在无穷阶导数,且导函数在内依然解析。

Laurent 展式[]

双边幂级数在收敛圆环上和一个解析函数一一对应,下面的 Laurent 定理说明了解析函数可以在某圆环上展成双边幂级数:

在圆环内解析的函数必定可以展成双边幂级数

上式右端的级数称作 Laurent 级数,其中,
是 Laurent 系数,注意它没有像 Taylor 系数那样的微分形式,是因为在处级数没有定义。

为后续研究本质奇点的需要,我们也把称作主要部分,把称作正则部分。虽然可能不是的奇点,但一定是主要部分的奇点,因此,合理选择 Laurent 展式的收敛圆环中心是被推荐的,一般选择函数的奇点作为圆环中心展开级数。

上下节[]

参考资料

  1. 钟玉泉, 《复变函数论(第五版)》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.
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