解析函数的泰勒展式

解析函数的泰勒展式是研究复变函数中解析函数相关性质的有力工具，它依托解析函数的积分表达式对该函数进行幂级数展开。

Taylor 定理

与一元实函数的 Taylor 公式相对应，在复变函数论中也有如下定理：

设$f(z)$在$D$内解析，且$z_0 \in D$，开圆盘$K = \{ z :|z - z_0| < R , R > 0 \} \in D$，那么在$K$上有唯一展式

$$f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (z - z_0)^n$$

其中，

$$c_n = \dfrac{f^{(n)} (z_0)}{n!} = \dfrac{1}{2\pi\text{i}} \int_{C'} \dfrac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \mathrm{d}\zeta$$

为泰勒系数，$C'$是圆周$|z - z_0| < R-\varepsilon, \varepsilon > 0.$上述展式称泰勒展式，等式右边的级数称作泰勒级数。

幂级数在一致收敛时可以表示某个复变函数，上述定理告诉我们其反面也是对的。因此，一个函数在$D$上解析的充要条件是它在该区域中的任意一点均有泰勒展式。

收敛圆周

由复幂级数的相关理论我们可以知道，上式定义的泰勒级数在某个圆周$|z-z_0| < R$中一致收敛，实际上，在圆周$|z - z_0| = R$上，泰勒级数一定不可能处处存在（一致收敛），除非它的收敛半径无穷大。

这一点是容易想到的，是因为如果它在某个圆周上处处存在，那么在圆周$|z - z_0| = R$上的每一点都可以做出一个邻域来，使得泰勒级数在这些邻域中存在，由有限覆盖定理，可以选出有限$n$个邻域$O_{\lambda_i} = \{ |z - z_i| < R_i \}$将所有邻域覆盖起来，在这些有限个邻域上，取$\rho = \min_{1 \leqslant i \leqslant n} R_i$，这样在开圆盘$|z - z_0| < R + \rho$上泰勒级数存在，这和函数$f(z)$的收敛半径是$R$产生矛盾。

这也表明，如果$f(z)$在$z_0$处要展成泰勒级数，它的收敛半径应由$z_0$离最近的那个奇点确定，如果没有奇点或者奇点是无穷远点，那么$f(z)$可以在全复平面上展成泰勒级数。

初等函数的泰勒展式

可以仿照数学分析的手段求出某个函数在$z_0$处的各阶导数，然后将它展成级数，由解析函数的唯一性定理，实际上，单值解析函数的泰勒级数在它的解析区域上的展式和普通的一元实函数中的展式是一样的。

1. 几何级数
   $\frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n = 1 + z + z^2 + \cdots + z^n + \cdots \quad \forall z: \left| z \right| < 1;$
2. 复指数函数
   $\text{e}^z = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{z^n}{n!}= 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots +\frac{z^n}{n!} +\cdots \quad \forall z \in \C;$
3. 复三角函数
   $\begin{align}\sin z &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1} &&= z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \cdots && \forall z \in \C;\\\cos z &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} &&= 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \cdots && \forall z \in \C;\\\tan z &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n} (-4)^n \left(1-4^n\right)}{(2n)!} z^{2n-1} &&= z + \frac{z^3}{3} + \frac{2 z^5}{15} + \cdots && \forall z: |z| < \frac{\pi}{2};\end{align}$
4. 复对数函数
   $\begin{align} {[\ln(1+z)]_k} &= 2k\pi\text{i} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}n z^n \\ &= 2k\pi\text{i} + z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} - \cdots + \frac{(-1)^{n+1}}n z^n + \cdots, \forall z: |z| < 1, k \in \Z;\end{align}$
   对数主值
   $[\ln(1+z)]_0 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}n z^n = z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} - \cdots + \frac{(-1)^{n+1}}n z^n + \cdots, \forall z: |z| < 1, k \in \Z;$
5. 一般幂函数
   $(1+z)^\alpha = 1 + \alpha z + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2!} z^2 + \cdots + \frac{\alpha (\alpha - 1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!} z^n + \cdots, |z| < 1, \alpha \in \C.$

上下节

• 上一节：复幂级数
• 下一节：解析函数的零点性质

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.