解析函數的孤立奇點/無窮遠點

複變函數中，無窮遠點一定是解析函數的奇點，在擴充複平面$\C_\infty$上，考慮一個定義在無界區域（全擴充複平面、半平面等）上的解析函數在無窮遠點的性質，可以在一定情形下將洛朗展式推廣到無窮遠點處。

概念

對於無界區域上有定義的一個解析函數$f(z)$，我們關心的$\infty$是$f(z)$的奇點的情形，是指$f(z)$的任意一個$\infty$的$\varepsilon$鄰域：$|z| > \dfrac{1}{\varepsilon}$中，總有$f(z)$的解析點。

如果一個$f(z)$至少有一列發散到無窮的複數列$z_n$，這列複數中每個都是$f(z)$的奇點，我們就說$\infty$是非孤立奇點，反之則稱$\infty$是孤立奇點，孤立奇點的概念等價於：任意一個$\infty$的$\varepsilon$鄰域：$\dfrac{1}{\varepsilon} < |z| < +\infty$中，除了$\infty$外均是$f(z)$的解析點。

實際上，$\infty$是$f(z)$的孤立奇點，等價於$w=0$是$g(w) = f(\frac{1}{w})$的孤立奇點。這樣我們就可以通過變量代換，將對無窮遠點的研究歸結於對有限點的研究。

$g(w)$在圓環$0 < |w| < \varepsilon$中有定義，因此可以展成洛朗展式 $$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }d_{n}w^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}w^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }d_{-n}w^{-n},0<|w|<\varepsilon .$$ 代回原變量$w = \dfrac{1}{z}$，於是 $$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}{\dfrac {1}{z^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{-n}z^{-n}+\sum _{n=1}^{\infty }d_{n}z^{n},{\dfrac {1}{\varepsilon }}<|z|<+\infty .$$ 以上稱作$f(z)$在孤立奇點附近的圓環區域$\dfrac{1}{\varepsilon} < |z| < +\infty$內的洛朗展式

在如上變換下，有$\lim_{w \to 0} g(w)$和$\lim_{z \to \infty} f(z)$要麼同時收斂到相同值、要麼同時發散到無窮、要麼同時都不存在。因此$g(w)$在$w=0$和$f(z)$在$z=\infty$處的奇點類型是一致的。因此三種孤立奇點的定義可以推廣到無窮遠點。

可去奇點

在$\infty$點的去心鄰域中有洛朗展式#A2，並且若設$\infty$是$f(z)$的孤立奇點，以下幾款等價：

1. $\infty$是$f(z)$的可去奇點；
2. $\lim_{z \to \infty} f(z) = a$為有限值；
3. $f(z)$在$\infty$處的洛朗展式中主要部分（正冪次項部分）的各項係數都是零，即$f(z)$在$\infty$處有泰勒展式；
4. $f(z)$在$\infty$的某去心鄰域中有界。

此外，極限$\lim_{z \to \infty} f(z) = d_0$。其中，$d_0$是洛朗展式中$n=0$的那一項洛朗係數，因此在點$\infty$處補充定義$f(\infty)=d_0$後，函數$f(z)$在$\infty$處就成為了解析函數。

極點

若設$\infty$是$f(z)$的孤立奇點，以下幾款等價：

1. $\infty$是$f(z)$的極點；
2. $f(z)$在$\infty$處的洛朗展式中主要部分（正冪次項部分）的有限項的洛朗係數非零；
3. $\infty$是$\dfrac{1}{f(z)}$的零點，確切地說，補充定義$\dfrac{1}{f(\infty)} = 0$後$\dfrac{1}{f(z)}$在$\infty$的某鄰域內成為解析函數。

更加精細地，我們還可以定義極點的階，它可以由上述定價命題中的第三條對零點的階實現，若設$\infty$是$f(z)$的孤立奇點，我們給出如下三款等價定義：

1. $\infty$是$f(z)$的$m$階極點；
2. $f(z)$在$\infty$處的洛朗係數$c_m \ne 0$，而$\forall p \in \N^+, c_{(m+p)} = 0;$
3. $\infty$是$\dfrac{1}{f(z)}$的$m$階零點，要對$\dfrac{1}{f(z)}$稍加改造，方法同上。

本質奇點

若設$\infty$是$f(z)$的孤立奇點，以下四款等價：

1. $\infty$是$f(z)$的本質奇點；
2. 在大前提$f(z)$在$\infty$的某去心鄰域中非零下時，則$\infty$是$\dfrac{1}{f(z)}$的本質奇點；
3. （Weierstrass）對於任意一個擴充復常數$a \in \C_\infty$，總有一個發散到$\infty$的複數列，被函數$f(z)$作用後的數列極限是$a$，即$\exists \{z_n\}_{n=1}^\infty \subset N_\delta(z_0), \lim_{n \to \infty} z_n = \infty, s.t. \lim_{n \to \infty} f(z_n) = a;$
4. （Picard）對於任意一個復常數$a \in \C$，去掉某一個值$a_0$外，總可以找到一個發散到$\infty$的複數列，被函數$f(z)$作用後是一個常數列$f(z_n) = a.$

上下節

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參考資料

1. 鍾玉泉, 《複變函數論（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.