解析函数的孤立奇点/无穷远点

复变函数中，无穷远点一定是解析函数的奇点，在扩充复平面$\C_\infty$上，考虑一个定义在无界区域（全扩充复平面、半平面等）上的解析函数在无穷远点的性质，可以在一定情形下将洛朗展式推广到无穷远点处。

概念

对于无界区域上有定义的一个解析函数$f(z)$，我们关心的$\infty$是$f(z)$的奇点的情形，是指$f(z)$的任意一个$\infty$的$\varepsilon$邻域：$|z| > \dfrac{1}{\varepsilon}$中，总有$f(z)$的解析点。

如果一个$f(z)$至少有一列发散到无穷的复数列$z_n$，这列复数中每个都是$f(z)$的奇点，我们就说$\infty$是非孤立奇点，反之则称$\infty$是孤立奇点，孤立奇点的概念等价于：任意一个$\infty$的$\varepsilon$邻域：$\dfrac{1}{\varepsilon} < |z| < +\infty$中，除了$\infty$外均是$f(z)$的解析点。

实际上，$\infty$是$f(z)$的孤立奇点，等价于$w=0$是$g(w) = f(\frac{1}{w})$的孤立奇点。这样我们就可以通过变量代换，将对无穷远点的研究归结于对有限点的研究。

$g(w)$在圆环$0 < |w| < \varepsilon$中有定义，因此可以展成洛朗展式 $$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }d_{n}w^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}w^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }d_{-n}w^{-n},0<|w|<\varepsilon .$$ 代回原变量$w = \dfrac{1}{z}$，于是 $$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}{\dfrac {1}{z^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{-n}z^{-n}+\sum _{n=1}^{\infty }d_{n}z^{n},{\dfrac {1}{\varepsilon }}<|z|<+\infty .$$ 以上称作$f(z)$在孤立奇点附近的圆环区域$\dfrac{1}{\varepsilon} < |z| < +\infty$内的洛朗展式

在如上变换下，有$\lim_{w \to 0} g(w)$和$\lim_{z \to \infty} f(z)$要么同时收敛到相同值、要么同时发散到无穷、要么同时都不存在。因此$g(w)$在$w=0$和$f(z)$在$z=\infty$处的奇点类型是一致的。因此三种孤立奇点的定义可以推广到无穷远点。

可去奇点

在$\infty$点的去心邻域中有洛朗展式#A2，并且若设$\infty$是$f(z)$的孤立奇点，以下几款等价：

1. $\infty$是$f(z)$的可去奇点；
2. $\lim_{z \to \infty} f(z) = a$为有限值；
3. $f(z)$在$\infty$处的洛朗展式中主要部分（正幂次项部分）的各项系数都是零，即$f(z)$在$\infty$处有泰勒展式；
4. $f(z)$在$\infty$的某去心邻域中有界。

此外，极限$\lim_{z \to \infty} f(z) = d_0$。其中，$d_0$是洛朗展式中$n=0$的那一项洛朗系数，因此在点$\infty$处补充定义$f(\infty)=d_0$后，函数$f(z)$在$\infty$处就成为了解析函数。

极点

若设$\infty$是$f(z)$的孤立奇点，以下几款等价：

1. $\infty$是$f(z)$的极点；
2. $f(z)$在$\infty$处的洛朗展式中主要部分（正幂次项部分）的有限项的洛朗系数非零；
3. $\infty$是$\dfrac{1}{f(z)}$的零点，确切地说，补充定义$\dfrac{1}{f(\infty)} = 0$后$\dfrac{1}{f(z)}$在$\infty$的某邻域内成为解析函数。

更加精细地，我们还可以定义极点的阶，它可以由上述定价命题中的第三条对零点的阶实现，若设$\infty$是$f(z)$的孤立奇点，我们给出如下三款等价定义：

1. $\infty$是$f(z)$的$m$阶极点；
2. $f(z)$在$\infty$处的洛朗系数$c_m \ne 0$，而$\forall p \in \N^+, c_{(m+p)} = 0;$
3. $\infty$是$\dfrac{1}{f(z)}$的$m$阶零点，要对$\dfrac{1}{f(z)}$稍加改造，方法同上。

本质奇点

若设$\infty$是$f(z)$的孤立奇点，以下四款等价：

1. $\infty$是$f(z)$的本质奇点；
2. 在大前提$f(z)$在$\infty$的某去心邻域中非零下时，则$\infty$是$\dfrac{1}{f(z)}$的本质奇点；
3. （Weierstrass）对于任意一个扩充复常数$a \in \C_\infty$，总有一个发散到$\infty$的复数列，被函数$f(z)$作用后的数列极限是$a$，即$\exists \{z_n\}_{n=1}^\infty \subset N_\delta(z_0), \lim_{n \to \infty} z_n = \infty, s.t. \lim_{n \to \infty} f(z_n) = a;$
4. （Picard）对于任意一个复常数$a \in \C$，去掉某一个值$a_0$外，总可以找到一个发散到$\infty$的复数列，被函数$f(z)$作用后是一个常数列$f(z_n) = a.$

上下节

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参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.