解析函数的孤立奇点

复变函数论中，对解析函数的奇点的研究极大拓宽了复变函数的应用场景，诸如留数理论。为了能使解析函数的洛朗展式在某一个区域中可以实现，必须要求解析函数有孤立奇点，若存在非孤立奇点，则洛朗展式一般无法进行。

定义

首先我们给出奇点的概念：使得一个复变函数$f(z)$不解析的点称作复变函数$f(z)$的奇点，如果$f(z)$有一个奇点$z_0$，但是在$z_0$的任意邻域中总有$f(z)$的解析点，我们可以将该点包含在区域$D$中，一并研究函数的性质，一般我们所说的解析函数容许有某些不解析的点，但这些点的邻域中必须有我们关心的解析点。

如果一个$f(z)$的一个奇点$z_0$的任意邻域中总还有$f(z)$的其它奇点，即$z_0$是一列奇点$\{ z_n \}_{n=1}^\infty$的聚点，我们称该奇点$z_0$是非孤立奇点，反之则称$z_0$是孤立奇点。

洛朗展式一定可以在单值函数$f(z)$的孤立奇点附近的圆环区域进行，而在而在孤立奇点附近则不一定，因此我们主要讨论孤立奇点。孤立奇点有可去奇点、极点和本质奇点三类。以下我们总假设$f(z)$在我们讨论的单奇点$z_0$的附近圆环中有洛朗展式 $$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }c_{-n}(z-z_{0})^{-n}.$$

可去奇点

设函数$f(z)$在点$z_0$处不解析，但极限 $$\lim_{z \to z_0} f(z)$$ 存在且有限，我们就称$z_0$是$f(z)$的可去奇点，这和一元实函数的可去间断点有相似之处。

在这一点的去心邻域中有洛朗展式#A1，并且若设$z_0$是$f(z)$的孤立奇点，以下三款等价：

1. $z_0$是$f(z)$的可去奇点；
2. $f(z)$在$z_0$处的洛朗展式中主要部分（负幂次项部分）的各项系数都是零，即$f(z)$在$z_0$处有泰勒展式；
3. $f(z)$在$z_0$的某去心邻域中有界。

此外，极限$\lim_{z \to z_0} f(z) = c_0$。其中，$c_0$是洛朗展式中$n=0$的那一项洛朗系数，因此在点$z_0$处补充定义或改变定义后，函数$f(z)$在$z_0$处就成为了解析函数。

极点

设函数$f(z)$在点$z_0$处不解析，但极限 $$\lim_{z \to z_0} f(z) = \infty$$ 我们就称$z_0$是$f(z)$的极点，这和一元实函数的无穷间断点有相似之处。

若设$z_0$是$f(z)$的孤立奇点，以下三款等价：

1. $z_0$是$f(z)$的极点；
2. $f(z)$在$z_0$处的洛朗展式中主要部分（负幂次项部分）的有限项的洛朗系数非零；
3. $z_0$是$\dfrac{1}{f(z)}$的零点，确切地说，补充定义$\dfrac{1}{f(z_0)} = 0$后$\dfrac{1}{f(z)}$在$z_0$的某邻域内成为解析函数。

更加精细地，我们还可以定义极点的阶，它可以由上述定价命题中的第三条对零点的阶实现，若设$z_0$是$f(z)$的孤立奇点，我们给出如下四款等价定义：

1. $z_0$是$f(z)$的$m$阶极点；
2. $f(z)$在$z_0$处的洛朗系数$c_{-m} \ne 0$，而$\forall p \in \N^+, c_{-(m+p)} = 0;$
3. $z_0$是$\dfrac{1}{f(z)}$的$m$阶零点，要对$\dfrac{1}{f(z)}$稍加改造，方法同上；
4. $f(z)$在$z_0$的某去心邻域内可以写作$$f(z) = \dfrac{g(z)}{(z-z_0)^m},$$其中，$g(z)$在$z_0$的该邻域中解析，且$g(z_0) \ne 0.$

本质奇点

设函数$f(z)$在点$z_0$处不解析，但极限 $$\lim_{z \to z_0} f(z)$$ 不是有限值，也不是无穷，我们就称$z_0$是$f(z)$的本质奇点，本质奇点就是既不是可去奇点也不是极点的奇点。

若设$z_0$是$f(z)$的孤立奇点，以下四款等价：

1. $z_0$是$f(z)$的本质奇点；
2. 在大前提$f(z)$在$z_0$的某去心邻域中非零下时，则$z_0$是$\dfrac{1}{f(z)}$的本质奇点；
3. （Weierstrass）对于任意一个扩充复常数$a \in \C_\infty$，在$z_0$的去心邻域中，总有一个收敛于$z_0$的复数列，被函数$f(z)$作用后的数列极限是$a$，即$\exists \{z_n\}_{n=1}^\infty \subset N_\delta(z_0), \lim_{n \to \infty} z_n = z_0, s.t. \lim_{n \to \infty} f(z_n) = a;$
4. （Picard）对于任意一个复常数$a \in \C$，去掉某一个值$a_0$外，在$z_0$的去心邻域中，总可以找到一个收敛于$z_0$的复数列，被函数$f(z)$作用后是一个常数列$f(z_n) = a.$

上下节

• 上一节：解析函数的洛朗展式
• 下一节：解析函数的孤立奇点/无穷远点

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.