解析函数

解析函数是复变函数主要研究的对象，它是一种条件更强的可微函数，解析函数具有十分良好的性质，它比一元实函数的连续性以及可导性性质更好。

定义

设定义在区域$D$上的复变函数$w = f(z)$在区域$D$上可微，我们就说该函数是区域$D$上的解析函数、全纯函数或正则函数，如果$w = f(z)$在$z_0$的某个邻域内可微，就说该函数在点$z_0$解析。在某点解析的条件比在某点可微的条件更强，它必须要求在这个点的邻域内可微，因此在某点解析的函数是无穷可微的，但在某一点无穷可微的函数不一定在该点解析，这样的函数是存在的。

如果复变函数$w = f(z)$在闭域$\overline{D}$上解析，是说该函数在包含这个闭域的一个区域上解析。

如果复变函数$w = f(z)$在点$z_0$不解析，但是在$z_0$的任意邻域内总有这个函数的解析点，我们就说$z_0$是该函数的奇点。在某个区域内如果某个函数有有限个奇点，它也可以算作是这个区域上的解析函数，因为我们研究解析函数的性质，着重在它的解析点上，因此容许有限个不解析点（奇点）存在。

在某个区间上处处不解析的函数是存在的，这类函数不在解析函数的研究范畴之内，诸如$f(z) = |z|.$

C.-R. 方程

设定义在区域$E$上的复变函数$w = f(z) = u(x, y) + \text{i} v(x, y)$，称如下的方程组为对应于$z = x + \text{i} y$的 Cauchy-Riemann 方程（柯西-黎曼方程），简称为 C.-R. 方程 $$\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y}, \quad \dfrac{\partial u}{\partial y} = -\dfrac{\partial v}{\partial x}.$$ 它是判断复变函数在某点（区域）解析的必要条件，即如果复变函数在某点（区域）内解析，那么必然满足 C.-R. 方程，不满足该方程的点或区域上该函数都不解析。

由此可得函数$w = f(z) = u(x, y) + \text{i} v(x, y)$在定义域内一点$z = x + \text{i} y$可微的充要条件是二元函数$u(x, y), v(x, y)$在点$(x,y)$可微且满足 C.-R. 方程。

函数$w = f(z) = u(x, y) + \text{i} v(x, y)$在区域$D$上解析的充要条件是二元函数$u(x, y), v(x, y)$在区域$D$上可微且满足 C.-R. 方程。

性质

由于解析函数也是（无穷）可微函数的一种，可微函数的性质它也都具备，诸如求导法则、连续性、局部有界等等。

1. 无穷可微性：由一个解析函数在某一点的解析性可以推出它在这一点的各阶导数存在，这是后续幂级数展开的基础。
2. 平均值定理：设函数$f(z)$在开圆盘$|z-z_0| < R$上解析，在$|z - z_0| \leqslant R$上连续，那么$$f(z_0) = \dfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(z_0 + R \text{e}^{\text{i}\varphi}) \mathrm{d}\varphi$$
3. 极值原理（最大模原理）：设在区域$D$内解析的不恒为常数的函数$f(z)$，它的模长$|f(z)|$在$D$中的任何点都达不到最大值。
4. Cauchy 不等式：设区域$D$的边界是周线$C$，复变函数$f(z)$在$D$内解析，在$D + C$上连续，设$z_0 \in D$，圆周$|z - z_0| = R$及其内部全在区域$D$中，那么有$$\left| f^{(n)} (z_0) \right| \leqslant \dfrac{n! M}{R^n}, \quad z_0 \in D.$$其中，$R = |z - z_0|, M = \sup_{|z - z_0| = R} |f(z)|.$实际上，$M$的定义可以改为$M = \sup_{|z - z_0| < R} |f(z)|.$
5. 零点孤立性：非常数函数的解析函数的零点是孤立的。
6. 唯一性定理：设在区域$D$内解析的函数$f(z)$和$g(z)$，如果存在一个收敛点列$\{ z_n \}_{n=1}^\infty$有$f(z_n) = g(z_n)$，其中$z_n \ne 0$，则$f(z)$和$g(z)$在$D$内恒等。
7. Schwarz 引理：在单位圆$|z| < 1$内解析的函数$f(z)$，如果$f(0) = 0, |f(z)|<1$，则在单位圆内恒有$|f(z)| \leqslant |z|, |f'(0)| \leqslant 1.$
8. 解析变换与共形映射：揭示解析函数导数的几何意义以及解析函数的变换性质。

解析的等价刻画

1. Cauchy-Riemann 方程：见上。
2. Cauchy 积分定理及逆定理：函数$f(z)$在单连通区域$D$内解析，当且仅当对任意周线$C \in D$，有$\int_C f(z) \mathrm{d}z.$
3. 解析函数的泰勒展式：函数$f(z)$在点$z_0$处解析，可以在该点的某邻域内展成泰勒展式$$f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (z - z_0)^n$$其中，$$c_n = \dfrac{f^{(n)} (z_0)}{n!} = \dfrac{1}{2\pi\text{i}} \int_{C'} \dfrac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \mathrm{d}\zeta$$

上下节

• 上一节：复变函数的导数
• 下一节：复指数函数

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.