角谷定理

角谷定理可能指代多个定理，这个页面介绍的是在泛函分析的弱拓扑中的关于自反空间等价刻画的定理。

内容

假设$X$是 Banach 空间，那么$X$是自反空间当且仅当$X$中的强闭集是弱紧集。

后者等价于强闭球$B_X = \{ x \in X: \| x \| \leqslant 1 \}$是弱紧的。

结合Eberlein-Smulian 定理（Banch 空间$X$自反当且仅当$X$中的强闭球是弱列紧集）可知 Banach 空间中弱紧等价于弱序列紧，这是因为中间靠自反性连接的，一般的拓扑空间中二者未必等价，*弱拓扑的紧和序列紧就不等价（Banach-Alaoglu-Bourbaki 定理指出任意赋范线性空间的共轭空间的闭单位球是*弱紧的，但是未必是*弱序列紧的）。

证明

必要性：假设$X$是自反的，那么令$J$是典则单射，它是等距同构，则$J(B_X) = B_{X^{**}}$，由 Banach-Alaoglu-Bourbaki 定理，在$X^*$上，其共轭空间的单位闭球$B_{X^{**}}$是*弱紧的，即$B_{X^{**}}$在$\sigma(X^{**}, X^*)$上紧。我们如果可以证明$J^{-1}$是连续映射，那么根据紧集的连续象是紧集可以得到$B_X = J^{-1}(B_{X^{**}})$是弱紧集。

下面证明：$$J^{-1}: (X^{**}, \sigma(X^{**}, X^*)) \to (X, \sigma(X, X^*))$$ 是连续的。实际上，由弱拓扑的泛性质，$J^{-1}$连续当且仅当对任意的$f \in X^*$，$f \circ J^{-1}$连续，而$f \circ J^{-1}(\xi) = \langle f, J^{-1}(\xi) \rangle = \langle f, x \rangle = \langle \xi, f \rangle = \langle f^{**}, \xi \rangle$，其中$\xi = J(x)$而$f^{**}$是$f$在$X^{***}$中的典则映射象，这就等价于证明$f^{**}(\xi)$在$(X^{**}, \sigma(X^{**}, X^*))$上面连续，拓扑$\sigma(X^{**}, X^*)$是$X^{**}$上的*弱拓扑，其是保证$X^*$中的元素$f$的典则映射象连续的拓扑，这就说明了$J^{-1}$连续。

充分性：根据 Goldstine 定理，$J(B_X)$在$B_{X^{**}}$中是*弱稠密的，我们如果能证明$J(B_X)$在$B_{X^{**}}$中是*弱闭的，这样就可以得到$J(B_X) = B_{X^{**}}$。实际上我们可以证明$J(B_X)$在$B_{X^{**}}$中是*弱紧的，这需要证明 $$J: (X, \sigma(X, X^*)) \to (X^{**}, \sigma(X^{**}, X^*))$$ 是连续的，就可以由紧集（$B_X$是弱紧的是已知条件）的连续象是紧集得到*弱紧性。下面证明$J$的连续性。还是根据弱拓扑的泛性质：$J$在$(X, \sigma(X, X^*))$上连续当且仅当对任意的$f \in X^*$，$f^{**} \circ J$在$(X, \sigma(X, X^*))$上连续，其中$f^{**}$是$f$在$X^{***}$中的典则映射象，而$f^{**}(J(x)) = \langle J(x), f \rangle = \langle f, x \rangle$，这是显然的因为$f \in X^*$。

参考资料

1. Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN 978-0-3877-0913-0.