覆盖

覆盖（cover）是一种拓扑上的特殊集族，在定义拓扑空间的各种紧致性中使用到。

定义

覆盖

假设$X$是非空集合，假设$\mathcal{A}$是一个$X$中集合构成的非空子集族，$B \subseteq X$，我们称$\mathcal{A}$是$B$的一个覆盖（cover），是指

$$B \subset \bigcup_{A \in \mathcal{A}} A.$$

假设$X$是拓扑空间，我们称$\mathcal{A}$是$B$的开覆盖是指覆盖$\mathcal{A}$中的元素是开集，同样的有闭覆盖的概念。

有限和可数覆盖

如果覆盖$\mathcal{A}$中的元素个数是有限的，我们就称$\mathcal{A}$是有限覆盖，如果覆盖$\mathcal{A}$中的元素个数是至多可列的（和自然数集或有限集等势），我们就称$\mathcal{A}$是可数覆盖。

子覆盖

假设有$B$的覆盖$\mathcal{A}$，如果另有非空集族$\mathcal{A}'$满足$\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}$且$\mathcal{A}'$是$B$的覆盖，我们就称$\mathcal{A}'$是$\mathcal{A}$的子覆盖。

加细

假设$\mathcal{A}, \mathcal{A}'$是集合$X$的覆盖，如果$\mathcal{A}$中的每一个元素包含于$\mathcal{A}'$中，我们就称$\mathcal{A}$是$\mathcal{A}'$的一个加细。

局部有限覆盖

假设$X$是拓扑空间，$\mathcal{A}$是$A \subset X$的一个覆盖，若对任意$x \in A$都有$x$的一个邻域$U$仅与$\mathcal{A}$中有限个元素有非空交集，则称$\mathcal{A}$是$A$的一个局部有限覆盖。

有限覆盖是局部有限的覆盖。

相关空间

假设$X$是拓扑空间，

1. 如果$X$的每一个开覆盖都有可数的子覆盖，我们就称$X$是 Lindelof 空间。
2. 如果$X$的每一个开覆盖都有有限的子覆盖，我们就称$X$是紧致空间。
3. 如果$X$中每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，我们就称$X$是可数紧致空间。
4. 如果$X$的每一个开覆盖都有一个局部有限的开覆盖是它的加细，我们就称$X$是仿紧致空间。

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.