补空间

在一个线性空间中，一个子空间的补（complement）是某种意义一下体现与原空间正交性质的一个集合。为了描述这样的正交性质，必须声明一些拓扑结构。给定特殊的线性空间（例如 Hilbert 空间），它的补可以用正交补空间刻画，这是一类性质非常好、非常接近有限维空间中垂直概念的推广，而在一般的 Banach 空间中我们需要借助连续线性泛函来刻画补空间。

定义

假设有 Banach 空间$E$及其闭子空间$G$，闭子空间$L$称为是$G$的补空间，如果满足

1. $E = G + L.$
2. $G \cap L = \{ 0 \}.$

我们也可以说$G$和$L$互补。这意味着，每一个$z \in E$都可以唯一分解为$x + y$使得$x \in G, y \in L.$

投影算子

在上述定义中，我们可以构造出两个投影算子$z \mapsto x$和$z \mapsto y$，实际上它们都是连续的。

假设$G, L$是 Banach 空间$E$的两个闭子空间，且$G+L$在$E$中闭，那么存在常数$C > 0$，对任意$z \in G + L$存在$x \in G, y \in L$使得$z = x + y$以及$$\| x \| + \| y \| \leqslant C \| z \|.$$

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考察乘积空间$G \times L$，其上的范数定义为$\| (x, y) \| = \| x \| + \| y \|.$将$G+L$视为$G \times L$的子空间。定义映射 $$\begin{align} T: G \times L & \to G + L, \\ (x, y) & \mapsto x + y. \end{align}$$ 它是连续线性的满射，连续性是因为三角不等式 $$\| x+y \| \leqslant \| x \| + \| y \| = \| (x, y) \|.$$ 由开映射定理存在常数$c > 0$使得 $$T(B_{G \times L}(0, 1)) \supset B_{G+L}(0, c).$$ 可得对任意满足$\| z \| < c$的$z \in G + L$都可以写成$z = x + y, x \in G, y \in L$的形式，且$\| x \| + \| y \| < 1.$

于是用$z/c$代换可得任意$z \in G + L$都可以写成$z = x + y, x \in G, y \in L$的形式，且$\| x \| + \| y \| < 1/c \| z \|.$

需要指出的是：$G+L$在$E$中闭这一条件并不是自动满足的，在有限维空间中，这是没问题的，但是无穷维空间就不一样了，存在$G, L$在$E$中闭但$G+L$在$E$中不闭的例子（参见凸集分离定理#评注的$l^1$空间的例子）。但是，我们有下面这个充分条件：

假设$G, L$是 Banach 空间$E$的两个闭子空间，且$G\cap L=\{0\}$，且

$$k=\inf\{\|x-y\|:x\in G,y\in L,\|x\|=\|y\|=1\}>0,$$

那么$G+L$在$E$中闭。

证明参见这里。特别地，如果$E$一致凸，那么上述定理满足（参见双裂算子）。

例子

1. Hilbert 空间中，闭子空间的补空间就是它的正交补空间。
2. Banach 空间$E$的有限维闭子空间$G$，如果$G$有一组基$\{ e_i \}_{i=1}^n$，其中的元素有表示$x = \sum_{i=1}^n x_i e_i \in G$，那么定义泛函$\pi_i: x \mapsto x_i$，它是连续线性泛函，根据 Hahn-Banach 定理，这些泛函可以延拓到$E$上成为$\overline{\pi}_i$，这样，取$L = \bigcap_{i=1}^n \text{ker} \overline{\pi}_i$就是$G$的补空间。
3. Banach 空间$E$的余有限维闭子空间$G$（即$E^*$是有限维的），我们可以选择$E^*$中的有限维空间$N$使得$$G = \{ x \in E: f(x) = 0, \forall f \in N \} = N^\perp$$空间$N$有一组基$\{ f_i \}_{i=1}^n$（对偶基），那么存在$\{ e_i \}_{i=1}^n$使得$$f_i(e_j) = \delta_{ij}, i,j = 1,2,\cdots,n$$，这样向量$\{ e_i \}_{i=1}^n$张成的子空间就是$G$的补空间。

左垂直和右垂直

下面我们引入两个表征补空间的记号，假设$E$是 Banach 空间，$M$是其子空间，$E^*$是$E$的共轭空间，$N$是$E^*$的子空间。 $$\begin{align} M^\perp &:= \{ f \in E^*: f(x) = 0, \forall x \in M \}, \\ N^\perp &:= \{ x \in E: f(x) = 0, \forall f \in N \}. \end{align}$$ 有的书中将$M^\perp$写作${}^\perp M$，这样不会引起混淆（实际上上面两个记号本质上是不一样的，$N^\perp$若按照上面第一条定义应该是$x \in E^{**}$，这在非自反空间中可能会比${}^\perp N$大一些）不过一般情况下，在给定一个空间$E$作为基准的条件下我们可以简单地使用统一的记号，会和内积空间中的正交补对应。

首先有简单的性质

$M^\perp$和$N^\perp$分别在$E$和$E^*$中闭。

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只证第一个结果，第二个结果类似。任取$M^\perp$中的序列$\{ f_n \}$，那么对任意$x\in M$以及$n \in \N$我们有$\langle f_n, x \rangle = 0$。假设$f_n$在$E$中收敛到$f$，于是 $$\langle f, x \rangle = \langle \lim_{n \to \infty} f_n, x \rangle = \lim_{n \to \infty} \langle f_n, x \rangle = 0.$$ 即$f \in M^\perp.$

其次，我们有

假设$E$是 Banach 空间，$M$是其子空间，$E^*$是$E$的共轭空间，$N$是$E^*$的子空间。

1. $M_1 \subset M_2$蕴含$M_2^\perp \subset M_1^\perp.$
2. $N_1 \subset N_2$蕴含$N_2^\perp \subset N_1^\perp.$
3. $(M^\perp)^\perp = \overline{M}.$
4. $(N^\perp)^\perp \supset \overline{N}.$
5. 假设$M_1, M_2 \leqslant E$，那么$(M_1 \times M_2)^\perp \cong M_1^\perp \times M_2^\perp.$

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1. 任取$f \in M_2^\perp$，那么对任意$x \in M_2$都有$f(x) = 0$，于是对任意的$x \in M_1 \subset M_2$自然就有$f(x) = 0$即$f \in M_1^\perp.$
2. 和第一条的证明类似，任取$x \in N_2^\perp$，那么对任意$f \in N_2$都有$f(x) = 0$，于是对任意的$f \in N_1 \subset N_2$自然就有$f(x) = 0$即$x \in N_1^\perp.$
3. 我们要证明双包含的结果。
   1. 首先$M \subset (M^\perp)^\perp$，这是因为$$(M^\perp)^\perp = \{ x \in E: f(x) = 0, \forall f \in M^\perp \}$$因为$f \in M^\perp$，所以对固定的$x\in M$我们有$f(x) = 0$，这表明$x \in (M^\perp)^\perp$。接下来注意到$(M^\perp)^\perp$是闭的，于是$\overline{M} \subset (M^\perp)^\perp.$
   2. 任取$x_0 \in (M^\perp)^\perp$，那么对任意满足$f(M) = 0$的$f \in E^*$我们都有$f(x_0) = 0$，我们断言$x_0$是不可能在$\overline{M}$之外的，如果这样的话，根据凸集分离定理，存在一个$E$上的连续线性泛函$f$使得$f(M) = 0 < f(x_0)$，这就和$f(x_0) = 0$矛盾了。这个证明实际上告诉我们：在一个子空间上消失的连续线性泛函的全体，只是不能分辨这个子空间的闭包中的元素，其他元素都可以分辨。
4. 这个结果和第一条的第一部分证明类似，我们略去，但是我们要强调一点：这个包含关系可能是严格成立的。类似上一条第二点的证明是失效的，因为我们这是考察的$E^*$上的连续线性泛函全体并不全是$E^{**}$，而是$j(E)$（$j: E \to E^{**}$是典则映射），要严格隔离的哪个线性泛函可能在$E^{**} \setminus j(E)$中。我们给出如下反例：

   令$E = l^1$（绝对可和的数列全体，范数定义为其绝对值数列的和），于是$E^* = l^\infty$（有界数列全体，范数为这个数列的上确界），另取$N = c_0$（收敛到零的数列全体），那么$N^\perp = \{ 0 \}$于是$(N^\perp)^\perp = E^* \ne N.$（参见收敛数列空间）

5. 定义映射$$\begin{array}{rcccl} \tau: E^* \times E^* & \to & (E \times E)^*, & & \\ (f, g) & \mapsto & \tau(f, g): E \times E & \to & \R, \\ & & (x, y) & \mapsto & f(x) + g(y). \end{array}$$它是保距线性同构，参见对偶空间#乘积空间的对偶，我们只需要证明$M_1^\perp \times M_2^\perp$的象集是$(M_1 \times M_2)^\perp$，实际上任取$h \in (M_1 \times M_2)^\perp$，我们都有对任意$(x, y) \in M_1 \times M_2$都有$h(x, y) = 0$，令$x = 0$得到对任意$y \in M_2$，$g(y) := h(0, y) = 0$即$g \in M_2^\perp$，令$y=0$得到对任意$x \in M_1$，$f(x) := h(x, 0) = 0$即$f \in M_1^\perp$。即$(f, g) \in M_1^\perp \times M_2^\perp$我们得到$\tau(f, g) = h.$

假设$G, L$是 Banach 空间$X$的闭子空间，那么我们有

1. $G \cap L = (G^\perp + L^\perp)^\perp.$
2. $G^\perp \cap L^\perp = (G + L)^\perp.$

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下面我们分别证明。

1. 用双包含。
   1. 当$x \in G \cap L$时，对任意$f \in G^\perp$，$f(x) = 0.$对任意$g \in L^\perp$，$g(x) = 0$，这样对任意$h = f + g \in G^\perp + L^\perp$而言，$h(x) = f(x) + g(x) = 0$，所以$x \in (G^\perp + L^\perp)^\perp.$
   2. 首先我们注意到$G^\perp \subset G^\perp + L^\perp$（因为对任意$f \in G^\perp$，$f(x) + 0(x) \in G^\perp + L^\perp$），于是用#命题4.2的第1条我们得到$(G^\perp + L^\perp)^\perp \subset G^{\perp\perp}$，再用#命题4.2的第3条我们有$(G^\perp + L^\perp)^\perp \subset G$，同理$(G^\perp + L^\perp)^\perp \subset L$。
2. 和第一条证明类似，用双包含。
   1. 当$f \in G^\perp \cap L^\perp$时，对任意$x \in G$，$f(x) = 0.$对任意$y \in L$，$f(y) = 0$，这样对任意$z = x + y \in G + L$而言，$f(z) = f(x) + f(y) = 0$，所以$f \in (G^\perp + L^\perp)^\perp.$
   2. 首先我们注意到$G \subset G + L$，于是用#命题4.2的第2条我们得到$(G + L)^\perp \subset G^\perp$，同理$(G + L)^\perp \subset L^\perp$。

参考资料

1. Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN 978-0-3877-0913-0.