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行列式矩阵代数中重要研究的对象,在很多场合中发挥着重要的作用,而对于一个行列式的计算更是重点,然而对于一些阶数未知的行列式来说,运用初等方法比较难以求出,这里便介绍运用诸多方法计算阶行列式的方法,这些方法在一般的线性代数中也十分常用。

化三角形法[]

即通过初等变换将行列式化为上(下)三角行列式,这样行列式的值就是对角线上元素的乘积,这种方法简单易操作,但需要注意到行列式的行列之间的联系,在 中通常要连续做多次这样的行列初等变换才能逐步化为上(下)三角行列式,但有时这样做会破坏行列式的整体结构,使原来的行列式复杂化。

相关介绍见三角行列式

递推公式法[]

有些行列式按照某个规则展开后可得到有关及其低阶行列式的关系式,即得到一个递推公式,求解这个递推公式即可得到行列式的值。这一方法通常要用到归纳法原理,这一方法的最佳实践就是三对角行列式的求解。

相关介绍见三对角行列式

拆解法[]

如果 的某一行(列)的元素是 对应行(列)元素的和,其余位置的元素都相等,那么 。运用这一性质,可将难于求解的行列式化为两个易求解、规律性强的行列式的和,再求这两个行列式。一般而言,这个方法对于某一行(列)只有一个元素和其余元素不同的行列式很实用。例如,

同理得进而,
这个例子中还使用到了前面的两个方法。

加边法[]

一般的计算行列式,都是不断降阶,力求找出规律或一直降阶到易于求解的行列式上去,而加边法则“反其道而行之”,它通过给原行列式加一个侧行以及侧列使它的阶数升高,有时这样可以找出规律,易于求解或简化计算。要注意的是,所加边之后的行列式要可以控制,意思就是说要知道新行列式与原行列式之间的关系。见下例,其中

这个例子中用到了两次加边,在每个行列式的右下角注明了它的阶数,阶数增加的操作就是相应的加边操作。

运用 Vandermonde 行列式[]

要用到 Vandermonde 行列式解题的行列式,其形式必定和 Vandermonde 行列式十分相似。

相关介绍见 Vandermonde 行列式

运用矩阵乘法[]

有的时候一个行列式是由两个矩阵相乘的行列式,因此可拆成两个行列式的乘积计算,依据的原理是例如,

以上的例子中将所求行列式拆成了两个 Vandermonde 行列式的乘积。

Laplace 展开[]

当行列式按照某一行(列)展开比较复杂且完全破坏了原行列式的结构的时候,可以考虑同时按照多行或多列展开,这就是 Laplace 展开,它是说,在行列式中任取行(列),该$ k $行(列)上的全部阶子式与其对应的代数余子式的乘积之和就是该行列式的值。

相关介绍见 Laplace 展开

析因子法[]

对于一个阶文字行列式而言,它的结果应是一个多项式,如果我们可以找到这个多项式的全部因子(包含重数),而如果也知道了最高次项的次数以及系数,那么就可以确定这个文字行列式的结果(用因式分解的形式写出)。在寻求根时可以用特殊值验证,在寻求某个根的重数时,可以用多项式的导数判断。

相关介绍见析因子法

变阶法[]

这个方法是从关联矩阵的特征根中得到的一个结论的应用。

相关介绍见 关联矩阵的特征根#交换矩阵的特征多项式

上下节[]

参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
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