计算行列式的一种方法是直接将行列式作最终展开,即将一个
阶行列式展开
次,得到这个行列式的初等计算式(及不含任何阶数高于
的行列式的式子)。
二(三)阶展开的对角线法[]
对于
阶的行列式,可以用对角线法展开,具体如下


但是,对于四阶以上的行列式,这种对角线展开的方法不再适用(项数过少,对角线展开的项数至多有
项而行列式最终展开一共有
项),因此要想找到最终展开式还需要引入其它相关的概念。
排列[]
良序集合的排列[]
设
有良序关系:
,则有序列
称为一个
阶排列,其中
在我们后续的讨论中,常常取
,即有序列
是一个
这
个自然数的
阶排列。
阶排列的数量有
个,它们的个数和元素的取值无关。
在一个
阶排列
中,如果有
的情形存在,那么我们就称
构成这个排列的一个逆序,它只和元素之间的序关系有关而与具体元素是什么无关。
逆序数[]
一个排列
(互不相同)的逆序的总数,叫做这个排列的逆序数,记作
,例如
中,构成逆序的数对有
共四个,所以
在寻找逆序数时我们可以从第一个元素逐个从前往后匹配,之后再用第二个元素和它后面的元素匹配,一直到第
个元素与第
个元素匹配,因此如果设
之后比
小的数有
个,那么
特别地,
前者也被称作自然排列。
称一个排列
是奇(偶)排列,如果
是奇(偶)数。
排列的对换[]
称对排列
的如下变换
为该排列的一个对换,简单来说,它就是把第
个元素和第
个元素交换了位置,其余元素保持相对位置不变。
我们顺便罗列一些有关排列及对换的性质,证明从略。
- 对换改变排列的奇偶性。
- 任何排列都可经过有限次对换化为自然排列,且所作的对换次数与原排列具有相同的奇偶性。
- 良序集合
的所有可能排列中奇排列和偶排列各占一半,都有
个。
行列式的最终展开[]
设
,则

其中,

表示取遍所有良序集

的所有可能排列,实际上,它也可以写成下面的形式

这两种形式都叫做行列式

的
最终展式。
上下节[]
参考资料