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计算行列式的一种方法是直接将行列式作最终展开,即将一个阶行列式展开次,得到这个行列式的初等计算式(及不含任何阶数高于的行列式的式子)。

二(三)阶展开的对角线法[]

对于阶的行列式,可以用对角线法展开,具体如下

但是,对于四阶以上的行列式,这种对角线展开的方法不再适用(项数过少,对角线展开的项数至多有项而行列式最终展开一共有项),因此要想找到最终展开式还需要引入其它相关的概念。

排列[]

良序集合的排列[]

良序关系,则有序列称为一个阶排列,其中在我们后续的讨论中,常常取,即有序列是一个个自然数的阶排列。阶排列的数量有个,它们的个数和元素的取值无关。

在一个阶排列中,如果有的情形存在,那么我们就称构成这个排列的一个逆序,它只和元素之间的序关系有关而与具体元素是什么无关。

逆序数[]

一个排列(互不相同)的逆序的总数,叫做这个排列的逆序数,记作,例如中,构成逆序的数对有共四个,所以

在寻找逆序数时我们可以从第一个元素逐个从前往后匹配,之后再用第二个元素和它后面的元素匹配,一直到第个元素与第个元素匹配,因此如果设之后比小的数有个,那么特别地,前者也被称作自然排列

称一个排列是奇(偶)排列,如果是奇(偶)数。

排列的对换[]

称对排列的如下变换为该排列的一个对换,简单来说,它就是把第个元素和第个元素交换了位置,其余元素保持相对位置不变。

我们顺便罗列一些有关排列及对换的性质,证明从略。

  1. 对换改变排列的奇偶性。
  2. 任何排列都可经过有限次对换化为自然排列,且所作的对换次数与原排列具有相同的奇偶性。
  3. 良序集合的所有可能排列中奇排列和偶排列各占一半,都有个。

行列式的最终展开[]

,则

其中,表示取遍所有良序集的所有可能排列,实际上,它也可以写成下面的形式
这两种形式都叫做行列式最终展式

上下节[]

参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
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