行列式

在矩阵代数中，我们可以给数域$\mathbb{P}$上的$n$阶方阵$A \in \mathbb{P}^{n \times n}$定义行列式（determinant）的概念，一个矩阵的行列式实际上就是从$\mathbb{P}^{n \times n}$到$\mathbb{P}$上的一个反对称的多重线性函数。

定义

行列式的定义方式主要有三种，初学者仅需掌握归纳定义或最终展开定义即可。

归纳定义

我们用归纳法来定义一个$n$阶方阵的行列式$|A| = |a_{ij}|_{n \times n} = \det A$。

• （归纳奠基）$A = (a)$时，定义$A$的行列式为$|A| = a$，也写作$|a| = a$，注意此处不是绝对值符号。
• （归纳假设）假设$\mathbb{P}^{(n-1) \times (n-1)}$上的矩阵对应的行列式已经被定义，那么定义$A \in \mathbb{P}^{n \times n}$的行列式为$|A| = \sum_{k=1}^n a_{k1} A_{k1}$（这也称作行列式$A$的一次展开），其中，$A_{ij}$是矩阵$A$中元素$a_{ij}$的代数余子式（algebraic cofactor），$A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，$M_{ij}$是矩阵$A$中$a_{ij}$对应的余子式（cofactor），它被定义为$A$中除去第$i$行第$j$列后剩余的元素按照原来的相对位置排成的新矩阵的行列式，它的阶数是$n-1$阶，因此是被定义的。

最终展开定义

最终展开直接表明：行列式是不同行和列的元素乘积的一种组合，在这种定义方式中需要引入逆序数的概念，详见行列式的展开。

设$A \in \mathbb{P}^{n \times n}$，则 $$|A| = \sum_{j_1 j_2 \cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)} a_{1j_1} a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}.$$ 其中，$\sum_{j_1 j_2 \cdots j_n}$表示取遍所有良序集$S_n = \{ 1,2,\cdots,n \}$的所有可能排列，实际上，它也可以写成下面的形式 $$|A| = \sum_{i_1 i_2 \cdots i_n} (-1)^{\tau(i_1 i_2 \cdots i_n)} a_{i_11} a_{i_22} \cdots a_{i_nn}.$$ 这两种形式都叫做行列式$|A|$的最终展式。可以证明它和其他的定义方式等价。

公理化定义

将一个数学概念转化为该概念所满足的性质，并且保证条件的充要性且无循环定义，这样的方式是数学公理化的思想，对行列式来说我们也可以抽出它所满足的性质，然后去证明满足这些性质的概念只能是行列式。这就引出了如下行列式的公理化定义：以下借助矩阵的分块，把$A = (a_{ij})$写作$A = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n).$

假设有映射 $$\begin{align} |\cdot|: \mathbb{P}^{n \times n} & \to \mathbb{P}, \\ A = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n) & \mapsto |A| \end{align}$$ 满足：

1. （重线性性）固定除$\alpha_{i}$外的列向量，映射$f_i(\alpha_i) = |A|$是线性函数。
2. （反对称性）另假设$A' = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{i-1}, \alpha_{i+1}, \alpha_i, \alpha_{i+2}, \cdots, \alpha_n)$，那么$|A| = -|A'|.$
3. （标准性）$|E_n| = 1.$

我们就说$| \cdot |$是一个行列式。我们也称满足前两个条件的函数是反对称的$n$重线性函数，实际上，上述定义和高维空间中的混合积是一样的。因此行列式的一种几何意义一览无余（$n$维空间中平行$2n$面体的定向$n$维体积，它的另外一种几何意义是线性变换前后图形的定向体积比，这里由于第三个条件的限制，行列式对应的矩阵是从单位正交坐标系到目标坐标系的变换，自然是$n$维空间中平行$2n$面体的定向$n$维体积）。

性质

设$A$是$n$阶方阵，它的行列式有如下性质，我们不加证明的给出结论：

1. 行列式的一次展开，可按照任何一行进行，也可按照任何一列进行，且都有按照定义那样的展开公式；
2. $|A| = |A^\text{T}|;$
3. $|AB| = |A||B|$，但未必有$|A + B| = |A| + |B|;$
4. $|A|$中如果某一行（或列）有公因子，那么这个公因子可以提到整个行列式之外；
5. $|kA| = k^{n} |A|$
6. 交换$A$的任意两行或两列得到$B$，那么$|B| = -|A|;$
7. 行列式中有零行或零列，行列式的值为零；
8. 行列式有（不同的）两行或两列成比例，行列式的值为零；
9. 行列式可按照某一行或列拆解，设$A = (a_{ij}), B = (b_{ij}), C = (c_{ij})$，如果有$a_{ij} = b_{ij} = c_{ij}, i \ne t, a_{ij} = b_{ij} + c_{ij}, i = t$，那么$|A| = |B| + |C|;$
10. 将$A$的第$i$行（列）的$k$倍加到第$j$行（列）上去，行列式的值不变；
11. 若$A$可逆，则$|A^{-1}| = |A|^{-1};$
12. $|D_{d_i,n}| = d_1 d_2 \cdots d_n.$

Vandermonde 行列式

称如下行列式为 Vandermonde 行列式，当$a_i \ne a_j, i \ne j$时它总是可逆的。 $$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \end{vmatrix}$$ 且它的值$\Delta = \prod_{1 \leqslant j < i \leqslant n} (a_i - a_j).$

伴随矩阵

设$A \in \mathbb{P}^{n \times n}, n \geqslant 2$，做如下方阵 $$A^* := \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \\ \end{pmatrix}$$ 是$A$的伴随矩阵（adjoint matrix），其中$A_{ij}$是$a_{ij}$对应的代数余子式。当$A$可逆时，$A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} A^*.$

上（下）三角行列式（矩阵）

称如下矩阵$A$为上三角矩阵（upper triangular matrix），$|A|$为上三角行列式。 $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ 0 & 0 & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}$$ 那么$|A| = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}.$

同样下三角矩阵和下三角行列式也有这样的性质。如果$A$是上三角矩阵，那么$A^\text{T}$是下三角矩阵。

分块矩阵的行列式

如果一个分块矩阵的每个小块都是方阵，那么整个矩阵的行列式的计算和将每个小块视为元素进行计算有相似的性质，特别地，分块对角矩阵的行列式就是对角线上的子矩阵块的行列式的乘积。

上下节

• 上一节：分块矩阵
• 下一节：Vandermonde 行列式

参考资料

1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.