範疇

範疇（category）是反映數學對象及對象間關係的一個全體，它是諸多數學概念的抽象。

定義

一個範疇（常用無襯線體$\mathsf{C, D}$或花體$\mathcal{C, D}$表示）由兩個要素構成——對象（object，常用大寫英文字母$A, B$表示）和態射（morphism，常用小寫英文字母$f, g$表示），範疇$\mathsf{C}$中所有的對象全體記作$\operatorname{Obj} \mathsf{C}$；範疇$\mathsf{C}$中的態射指的是從$A \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$到$B \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$之間的一種關係，從$A$到$B$的全體態射記作$\operatorname{Hom}_\mathsf{C} (A, B)$（它必須是一個集合），它需要滿足：

1. 恆等態射（endomorphism）的存在性$\forall A \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}, \exists 1_A \in \operatorname{Hom}_\mathsf{C} (A, A).$
2. 複合運算$\forall A, B, C \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}, \forall f \in \operatorname{Hom}_\mathsf{C} (A, B), \forall g \in \operatorname{Hom}_\mathsf{C} (B, C)$，決定一個唯一的$g \circ f \in \operatorname{Hom}_\mathsf{C} (A, C).$
3. 結合性$\forall A, B, C, D \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}, \forall f \in \operatorname{Hom}_\mathsf{C} (A, B), \forall g \in \operatorname{Hom}_\mathsf{C} (B, C), \forall h \in \operatorname{Hom}_\mathsf{C} (C, D)$，滿足$h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f.$
4. 恆等態射是複合的單位元$\forall A, B \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}, \forall f \in \operatorname{Hom}_\mathsf{C} (A, B)$，滿足$f \circ 1_A = f = 1_B \circ f.$

注意上述定義中對態射的四個要求是在$\operatorname{Hom}_\mathsf{C} (A, B)$非空（這時稱$A$和$B$有關係）的前提下滿足的，若$\operatorname{Hom}_\mathsf{C} (A, B) = \varnothing$（範疇中可以允許兩個對象間沒有關係，例如後面的偏序集上的範疇），那麼無需檢驗上述要求。

一般，我們已經承認$\operatorname{Hom}_\mathsf{C} (A, B) = \operatorname{Hom}_\mathsf{C} (A', B')$若且唯若$A = A', B = B'.$範疇中，這一點也是必須得到保證的。

我們也把$A \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$的所有恆等態射的全體記作$\operatorname{End}_\mathsf{C} A$，它的元素不必唯一。另外，在指定了範疇的情況下，我們也把$f \in \operatorname{Hom}_\mathsf{C} (A, B)$簡記作$f:A \to B$，類似於集函數（映射）。

如果範疇$\mathsf{C}$的全部對象組成的全體$\operatorname{Obj} \mathsf{C}$是一個集合，那麼稱該範疇是一個小範疇（small category）。

例子

集合範疇$\mathsf{Set}$：

• 對象是所有集合；
• 態射是所有集合間的映射。

關係範疇$\mathsf{Rel}$：

• 對象是集合；
• 態射$f: X \to Y$：是指一個二元關係$f \in X \times Y$，態射$f: X \to Y$和$g: Y \to Z$的複合是$$g \circ f = \{ (x, z) \in X \times Z | \exists y \in Y, (x, y) \in f, (y, z) \in g \}$$

偏序集（關係範疇的特例）$(X, \leqslant)$上的範疇：

• 對象是偏序集中的元素；
• 兩個對象之間的態射$f : x \to y$存在若且唯若$x \leqslant y.$這是因為序關係具有自反性（有恆等態射）和傳遞性（態射可複合）。

整數和不大於關係構成一個範疇，一個非空集合的冪集和集合間的包含關係構成一個範疇，這都是上面偏序集範疇的特例。

群範疇$\mathsf{Grp}$（環範疇$\mathsf{Rng}$，R-模範疇$\mathsf{Mod}_R$）：

• 對象是群（環、R-模）；
• 態射是群同態（環同態、R-模同態）。

拓撲空間範疇$\mathsf{Top}$：

• 對象是拓撲空間；
• 態射是拓撲空間上的連續映射。

矩陣範疇$\mathsf{Mat}_\R$：

• 對象是所有自然數；
• 態射$f: m \to n$是所有$\R$上的$m \times n$階矩陣。

對偶原理

設$\mathsf{C}$是一個範疇，將$\mathsf{C}$中的所有態射的箭頭反向，對象不變，得到一個新範疇，稱為$\mathsf{C}$的對偶範疇，記作$\mathsf{C}^{op}$，顯然$(\mathsf{C}^{op})^{op} = \mathsf{C}.$

對偶原理：設命題$P$對任意範疇永真，那麼將$P$中所有態射的箭頭反向得到的命題也對所有範疇永真。

子範疇

設有範疇$\mathsf{C}$，另有一個範疇$\mathsf{C}'$，滿足

1. $\forall A \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}', A \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}.$
2. $\forall A, B \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}', \operatorname{Hom}_{\mathsf{C}'} (A, B) \subseteq \operatorname{Hom}_\mathsf{C} (A, B).$
3. $\mathsf{C}'$中的複合與$\mathsf{C}$中的複合相同。
4. $\mathsf{C}'$中的單位態射與$\mathsf{C}$中相同。

就稱範疇$\mathsf{C}'$是$\mathsf{C}$的子範疇（subcategory）。

假設同上，如果$\forall A, B \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}', \operatorname{Hom}_{\mathsf{C}'} (A, B) = \operatorname{Hom}_\mathsf{C} (A, B).$就稱範疇$\mathsf{C}'$是$\mathsf{C}$的滿子範疇（full submorphism）。

參見

• 態射
• 函子
• 泛對象
• 自然變換
• 範疇的自由
• 乘積範疇