范畴的自由

在范畴论中，范畴的自由是一个抽象描述范畴中对象间依赖关系的概念。

具体范畴

设有一个范畴$\mathsf{C}$，它的每一个对象$A \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$都与一个集合$\sigma (A)$相关，且满足

1. 每个态射$f:A \to B$都是集合$\sigma (A)$上的映射$\sigma(A) \to \sigma(B);$
2. 恒等态射$1_A$就是集合$\sigma (A)$上的恒等映射$i_{\sigma(A)};$
3. $\mathsf{C}$上态射的复合与$\sigma$上的映射的复合。

则称$\mathsf{C}$是一个具体范畴（concrete category）。其中，$\sigma$称为$\mathsf{C}$的底集。

有了上述准备，我们来定义范畴上的自由。

自由

设有集合$X$，$\mathsf{C}$是一个具体范畴，$F(X) \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$，并有映射$\iota: X \to F(X)$，如果$\forall A \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$以及映射$f: X \to A$，存在唯一的$\overline{f}: F(X) \to A$使得 $$\overline{f} \circ \iota = f.$$ 则称$F(X)$是$X$上的一个自由（free），完整来说，$F(X)$是$X$上的一个自由对象。

泛性质

设有集合$X$，$\mathsf{C}$是一个具体范畴，我们定义如下$\mathsf{D}$：

1. $\mathsf{D}$上的对象都是以$X$为始对象的态射，即$\operatorname{Obj} \mathsf{D} = \bigcup_{A \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}} \operatorname{Hom}_\mathsf{C} (X, A)$，$A$是$\mathsf{C}$中对象的底集。
2. $\mathsf{D}$上的对象$f: X \to A$和$g: X \to B$间的态射$\operatorname{Hom}_\mathsf{D} (f, g)$是满足$h \circ f = g$的态射$h \in \operatorname{Hom}_\mathsf{C} (A, B)$。

可以验证$\mathsf{D}$确实是一个范畴，其中如果范畴$\mathsf{D}$含有始对象$I: X \to F(X)$，那么$F(X)$就是范畴$\mathsf{C}$中在$X$上的自由对象。