范畴(category)是反映数学对象及对象间关系的一个全体,它是诸多数学概念的抽象。
定义[]
一个范畴(常用无衬线体
或花体
表示)由两个要素构成——对象(object,常用大写英文字母
表示)和态射(morphism,常用小写英文字母
表示),范畴
中所有的对象全体记作
;范畴
中的态射指的是从
到
之间的一种关系,从
到
的全体态射记作
(它必须是一个集合),它需要满足:
- 恒等态射(endomorphism)的存在性

- 复合运算
,决定一个唯一的
- 结合性
,满足
- 恒等态射是复合的单位元
,满足
注意上述定义中对态射的四个要求是在
非空(这时称
和
有关系)的前提下满足的,若
(范畴中可以允许两个对象间没有关系,例如后面的偏序集上的范畴),那么无需检验上述要求。
一般,我们已经承认
当且仅当
范畴中,这一点也是必须得到保证的。
我们也把
的所有恒等态射的全体记作
,它的元素不必唯一。另外,在指定了范畴的情况下,我们也把
简记作
,类似于集函数(映射)。
如果范畴
的全部对象组成的全体
是一个集合,那么称该范畴是一个小范畴(small category)。
例子[]
集合范畴
:
关系范畴
:
- 对象是集合;
- 态射
:是指一个二元关系
,态射
和
的复合是
偏序集(关系范畴的特例)
上的范畴:
- 对象是偏序集中的元素;
- 两个对象之间的态射
存在当且仅当
这是因为序关系具有自反性(有恒等态射)和传递性(态射可复合)。
整数和不大于关系构成一个范畴,一个非空集合的幂集和集合间的包含关系构成一个范畴,这都是上面偏序集范畴的特例。
群范畴
(环范畴
,R-模范畴
):
拓扑空间范畴
:
矩阵范畴
:
- 对象是所有自然数;
- 态射
是所有
上的
阶矩阵。
对偶原理[]
设
是一个范畴,将
中的所有态射的箭头反向,对象不变,得到一个新范畴,称为
的对偶范畴,记作
,显然
对偶原理:设命题
对任意范畴永真,那么将
中所有态射的箭头反向得到的命题也对所有范畴永真。
子范畴[]
设有范畴
,另有一个范畴
,满足


中的复合与
中的复合相同。
中的单位态射与
中相同。
就称范畴
是
的子范畴(subcategory)。
假设同上,如果
就称范畴
是
的满子范畴(full submorphism)。
参见[]