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范畴(category)是反映数学对象及对象间关系的一个全体,它是诸多数学概念的抽象。

定义[]

一个范畴(常用无衬线体或花体表示)由两个要素构成——对象(object,常用大写英文字母表示)和态射(morphism,常用小写英文字母表示),范畴中所有的对象全体记作;范畴中的态射指的是从之间的一种关系,从的全体态射记作(它必须是一个集合),它需要满足:

  1. 恒等态射(endomorphism)的存在性
  2. 复合运算,决定一个唯一的
  3. 结合性,满足
  4. 恒等态射是复合的单位元,满足

注意上述定义中对态射的四个要求是在非空(这时称有关系)的前提下满足的,若(范畴中可以允许两个对象间没有关系,例如后面的偏序集上的范畴),那么无需检验上述要求。

一般,我们已经承认当且仅当范畴中,这一点也是必须得到保证的。

我们也把的所有恒等态射的全体记作,它的元素不必唯一。另外,在指定了范畴的情况下,我们也把简记作,类似于集函数(映射)。

如果范畴的全部对象组成的全体是一个集合,那么称该范畴是一个小范畴(small category)。

例子[]

集合范畴

  • 对象是所有集合
  • 态射是所有集合间的映射。

关系范畴

  • 对象是集合;
  • 态射:是指一个二元关系,态射的复合是

偏序集(关系范畴的特例)上的范畴:

  • 对象是偏序集中的元素;
  • 两个对象之间的态射存在当且仅当这是因为序关系具有自反性(有恒等态射)和传递性(态射可复合)。

整数和不大于关系构成一个范畴,一个非空集合的幂集和集合间的包含关系构成一个范畴,这都是上面偏序集范畴的特例。

群范畴(环范畴,R-模范畴):

拓扑空间范畴

  • 对象是拓扑空间;
  • 态射是拓扑空间上的连续映射。

矩阵范畴

  • 对象是所有自然数;
  • 态射是所有上的矩阵

对偶原理[]

是一个范畴,将中的所有态射的箭头反向,对象不变,得到一个新范畴,称为的对偶范畴,记作,显然

对偶原理:设命题对任意范畴永真,那么将中所有态射的箭头反向得到的命题也对所有范畴永真。

子范畴[]

设有范畴,另有一个范畴,满足

  1. 中的复合与中的复合相同。
  2. 中的单位态射与中相同。

就称范畴的子范畴(subcategory)。

假设同上,如果就称范畴的满子范畴(full submorphism)。

参见[]

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