范数

这里所指的范数是一般的线性空间（线性泛函场合下研究的）范数，关于向量和矩阵分析中有限维线性空间的参见向量范数。

在泛函分析中，范数（norm）是衡量一个赋范线性空间中向量大小的概念，它是向量 Euclid 长度的推广。

概念

设有数域$\mathbb{P}$上的线性空间$V$，在其上定义了一个函数$\Vert \cdot \Vert: V \to \R$，它满足

• 正定性：$\Vert \boldsymbol{x} \Vert \geqslant 0$，等号成立当且仅当$\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0};$
• 齐次性：对任意常数$a \in \mathbb{P}$，$\Vert a \boldsymbol{x} \Vert = |a| \Vert \boldsymbol{x} \Vert;$
• 三角不等式：$\Vert \boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} \Vert \leqslant \Vert \boldsymbol{x} \Vert + \Vert \boldsymbol{y} \Vert.$

我们就称该函数$\Vert \cdot \Vert$为一个范数。

显然，我们熟知的 Euclid 长度就是一个范数。如果定义中第一条的“当且仅当”不成立，对其弱化还有准范数以及半范数等概念。范数还有一个三角不等式是

$$|~\Vert \boldsymbol{x} \Vert - \Vert \boldsymbol{y} \Vert~| \leqslant \Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} \Vert, \quad \forall \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in V.$$

赋范线性空间

带有范数意义下的极限运算的线性空间称为赋范线性空间或$B^*$空间，完备的赋范线性空间称为 Banach 空间。

赋范线性空间中有著名的 Riesz 引理，它是用范数表征无穷维空间和有限维空间区别的一个命题。

范数的等价性

我们称线性空间$V$中的范数$\| \cdot \|_1$比范数$\| \cdot \|_2$强是指$\| x_n \|_2 \to 0 \rightarrow \| x_n \|_1 \to 0.$如果此时还有$\| \cdot \|_1$比$\| \cdot \|_2$强，我们就说这两个范数等价。

范数$\| \cdot \|_1$比范数$\| \cdot \|_2$强还等价于存在一个正常数$C$使得$\forall x \in X, \| x \|_1 \leqslant C \| x \|_2.$

有限维线性空间$V$上各范数是等价的，一个范数可以用另一个范数的常数倍控制，即对于两个$V$上范数$\Vert \boldsymbol{x} \Vert_1$和$\Vert \boldsymbol{x} \Vert_2$上各范数，存在正常数$C_1,C_2$是得

$$C_1 \Vert \boldsymbol{x} \Vert_1 \leqslant \Vert \boldsymbol{x} \Vert_2 \leqslant C_2 \Vert \boldsymbol{x} \Vert_1, \quad \forall \boldsymbol{x} \in V.$$

这就是范数的等价性。因此两个相同维数的有限维线性空间，它们不仅是同构的，还是同胚的。

因此有限维赋范线性空间必是 Banach 空间（因为 Euclid 空间是 Banach 空间）。但是在无穷维空间中，不同的范数可以有不同的拓扑诱导，因此可能它们之间不等价。

凸性

由三角不等式可知，范数$\| \cdot \|: V \to \R$是凸函数，如果

$$\| x+y \| < \| x \| + \| y \| \iff x, y~\text{are linear independent.}$$

如果不等号对任意的$x, y \in V$一致成立，我们就说它是一致凸的，详见一致凸空间。

带有严格凸的范数的线性空间中的最佳逼近元若存在，则必唯一，这也是严格凸性的一个重要性质。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.