自由群

在群论中，自由群（free group）是一类特殊的群，形象地说自由群中的元素没有除了群的定义之外的其他“约束”条件。

概念

记$\mathsf{Grp}$是群范畴，设$X$是一个非空集合，$F(X)$是一个群，它们之间存在一个单射$j: X \to F(X)$，如果对任意群$G\in \operatorname {Obj} _{\mathsf {Grp}}$以及任意集合映射$f: X \to G$，都存在在唯一的一个群同态$\overline{f} \in \operatorname{Hom}_\mathsf{Grp} (F(X), G)$，使得

$$\overline{f} \circ j = f.$$

即下面的图可换

我们就称$F(X)$是$X$上的一个自由群。

当$X = \varnothing$时，我们规定平凡群$\{ e \} = F(\varnothing)$是$X$的一个自由群。

同构唯一性

对于任意集合$X$的自由群在同构的意义下存在且唯一。

对于存在性，需要引入“字”（word）以及约化的概念，证明是构造性的，详见#字和约化，以下假设这样的自由群存在来证明唯一性。

唯一性

设$F_1(X), F_2(X)$都是$X$的自由群，对于$F_1(X)$，有一个单射$j_1: X \to F_1(X)$。使用定义，取定义中的$G = F_2(X)$，$f = j_2$是从$X$到$F_2(X)$的一个单射，这样就存在唯一的群同态$\overline{f_1}$，再对$F_2(X)$使用自由群的定义，取定义中的$G = F_1(X)$，$f = j_1$，这样存在唯一的一个群同态$\overline{f_2}$，而$F_1(X) \to F_1(X)$间必存在一个群同构$i_{F_1(X)}$，于是有

$$\overline{f_2} \circ \overline{f_1} = i_{F_1(X)}.$$

同理，有$\overline{f_1} \circ \overline{f_2} = i_{F_2(X)}.$进而由态射的同构定义，得到对象$F_1(X), F_2(X)$是同构的。

字和约化

构造性地定义自由群的手段是借助字（word）和约化（reduction）的概念。

字

假设我们所考虑的非空集合是$A$，考虑一个和它等势的集合$A'$且$A \cap A' = \varnothing$，我们记这两者之间的双射是$(\cdot)^{-1}: A \to A', a \mapsto a^{-1}.$我们定义$A$上的一个字（word）$w$是如下的有限长的序列

$$w = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$$

我们可以简写为

$$w = a_1 a_2 \cdots a_n.$$

其中$a_i \in A \cup A'~(i = 1,2,\cdots,n)$称为字母，我们再定义空字（empty word）$e = ().$一个非空的字的长度（length）规定为序列的长度$n$（即所含字母的数量，计算重数），空字的长度规定为零。

$A$上所有字的集合记作$W(A)$，例如，$\{ x, y \}$上的一个字可以是下面的形式

$$w = xyxxy^{-1}yxx^{-1}yx.$$

它的长度是10.

字只是定义自由群中元素的一个原象集，而字中的字母正是我们将要定义的自由群的元素，字母的结合代表了乘法，我们注意到自由群中的元素满足$xx^{-1}$等于单位元，而我们即将把空字作为自由群的单位元实现，因此引入约化的概念：

约化

定义初等约化（elementary reduction）$r$为一个映射$r: W(A) \to W(A)$，给定一个字$w \in W(A)$，从左向右寻找$w$中第一个形如$xx^{-1}$或$x^{-1}x$的子序列，其中$x \in A$任意，$r(w)$的值就是将$w$中的第一个形如上述子序列的子序列删除后的字，例如

$$r(xyx^{-1}xy^{-1}yx) = xyy^{-1}yx.$$

如果$w \in W(A)$满足$r(w) = w$，我们就称$w$是既约字（reduced word），即不存在形如$xx^{-1}$或$x^{-1}x$的子序列。

显然$r(w)$的长度不大于$w$的长度，而且若记$w$的长度为$n$，那么$R(w) := r^n(w)$一定是既约字，这个映射（$R: W(A) \to W(A)$）被称为约化。

乘法

下面我们来定义字之间的乘法运算，以对应于自由群的元素之间的乘法。

令$F(A)$是$A$上全体既约字的集合，假设$w = a_1 a_2 \cdots a_m, w' = b_1 b_2 \cdots b_n \in F(A)$，定义它们的乘积$\cdot: W(A) \times W(A) \to W(A)$为下面的二元运算

$$w \cdot w' := R(w w') = R(a_1 a_2 \cdots a_m b_1 b_2 \cdots b_n).$$

显然$w \cdot w'$是既约字。

可以证明：

1. $\cdot$可结合，即$(w_1 \cdot w_2) \cdot w_3 = w_1 \cdot (w_2 \cdot w_3), \forall w_1, w_2, w_3 \in F(A).$
2. 有单位元：$() \cdot w = w \cdot () = w, \forall w \in F(A).$我们可记空字$() = e.$
3. 有逆元：$\forall w = a_1 a_2 \cdots a_n \in F(A), \exists w' = a_n^{-1} a_{n-1}^{-1} \cdots a_1^{-1} \in F(A), w \cdot w' = w' \cdot w = e.$其中$(a_i^{-1})^{-1} = a_i, i = 1,2,\cdots,n.$

因此我们就具体构造出了非空集合$A$上的自由群$F(A).$

自由交换群

如果将上述范畴限定为阿贝尔群范畴$\mathsf{AbGrp}$，即：设$X$是一个非空集合，$F^{ab} (X)$是一个交换群，它们之间存在一个单射$j: X \to F^{ab} (X)$，如果对任意交换群$G \in \operatorname{Obj} \mathsf{AbGrp}$以及任意集合映射$f: X \to G$，都存在在唯一的一个群同态$\overline{f} \in \operatorname{Hom}_\mathsf{AbGrp} (F^{ab} (X), G)$，使得

$$\overline{f} \circ j = f.$$

我们就称$F(X)$是$X$上的一个自由交换群（free abelian group）。

如果设$X = \{ x_i \}_{i=1}^n$，那么自由交换群$F^{ab} (X)$中的元素可表示为$x = \sum_{i=1}^n k_i x_i, k_i \in \Z$。类似于线性组合。由此可见自由交换群的结构要比自由群简单得多，$A$上的自由交换群就同构于$\Z^{\oplus A}.$

泛性质——群的表示

自由群是范畴中的自由对象在群范畴中的体现，所以自由群也具有范畴中自由对象的泛性质，在群范畴中表现为自由表示：

任何一群都是某一自由群的商群，这是说：对任意群$G$，总存在一自由群$F(A)$，使得存在群$H$成立$G = F(A)/H.$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

设群$G$的生成集为$A$（任何一群都会存在生成集，一个平凡的集合就是$G$本身），因此存在$A$上的自由群$F(A)$，有一个嵌入

$$j: A \to F(A).$$

由自由群的泛性质，对于态射

$$f: A \to G,$$

存在唯一的一个满同态

$$\overline{f}: F(A) \to G,$$

使得

$$\overline{f} \circ j = f.$$

由第一同构定理得

$$\operatorname{Im} \overline{f} = F(A) / \operatorname{Ker} \overline{f}.$$

由于$\overline{f}: F(A) \to G$是满的，有

$$G = \operatorname{Im} \overline{f}.$$

因此就有

$$G = F(A)/H, H = \operatorname{Ker} \overline{f}.$$

证明中也给出了表示形式，实际上有如下同构

$$G \cong F(A)/R.$$

$R$是$F(A)$的某些正规子群，我们一般把群$G$的表示简记作$(A | \mathcal{R})$，其中$\mathcal{R} = \{ R: G \cong F(A)/R \}.$详见群的表示。

自由积

还有另外的一种观点重新审视上述自由群的构造性的定义，即余积（coproduct），在自由群理论中被称为自由积（free product），它将表明：依靠一些群$(G_\alpha)_{\alpha \in A}$定义出的自由积将每个群$G_\alpha$都视为了自由积的子群，但是不同子群之间的元素是不可交换的（请对比群的直积，$(G_\alpha)_{\alpha \in A}$的直积也可以将每个群$G_\alpha$视为其直积的子群，但是不同子群之间的元素是可交换的）。

参见自由积。

参考资料

1. Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0, GTM Vol.104, American Mathematical Society, 2009-08, ISBN 978-1-4704-6571-1.