自由模

在模论中，自由模（free module）是模范畴上的自由对象。

概念

范畴语言

记$R-\mathsf{Mod}$是 R-模范畴，设$X$是一个非空集合，$F^R (X)$是一个 R-模，它们之间存在一个单射（嵌入映射）$j: X \to F^R (X)$，如果对任意 R-模$M \in \operatorname{Obj} R-\mathsf{Mod}$以及任意集合映射$f: X \to M$，都存在在唯一的一个模同态$\overline{f} \in \operatorname{Hom}_{R-\mathsf{Mod}} (F^R (X), M)$，使得

$$\overline{f} \circ j = f.$$

即下面的图可换

我们就称$F^R (X)$是$X$上的一个自由 R-模。

当$X = \varnothing$时，我们规定零模$\{ 0 \} = F^R (\varnothing)$是$X$的一个自由模。

形式语言

上述用泛性质定义自由模的方式在抽象的理论推导中很有用，但对于构造具体的自由模的元素形式不是很直接，以下等价定义是构造元素的版本。

当$X = \{ e_i \}_{i=1}^n$是有限集时，自由 R-模实际上就是环$R$的元素作用该集合的线性组合之全体，即

$$F^R (X) = \left\{ \sum_{i=1}^n r_i e_i: r_i \in R \right\}.$$

有限维线性空间中，$F^R (X)$是$X$张成的子空间$\text{span}(e_1, e_2, \cdots, e_n).$

当$X = \{ e_i \}_{i=1}^\infty$是可列集时，自由 R-模实际上就是环$R$的至多有限个非零元素作用该集合的线性组合之全体，即

$$F^R (X) = \left\{ \sum_{i=1}^\infty r_i e_i: r_i \in R \right\}.$$

其中，对于某个特定的元素，它的$r_i$至多有有限个非零。

当$X$是不可列的无限集时，自由 R-模是

$$F^R (X) = \left\{ \sum_{x \in X} r_x x: r_x \in R \right\}.$$

其中，对于某个特定的元素，它的$r_x$至多有有限个非零。

线性相关性

一个左 R-模$M$的底集的一个子集$X$被称为是线性无关的（linearly independent）是指对任意不同的$x_1, x_2, \cdots, x_m \in X$以及任意$r_1, r_2, \cdots r_m \in R$，等式

$$\sum_{i=1}^m r_i x_i = 0$$

成立蕴含每个$r_i = 0.$

如果集合$X$不是线性无关的，我们就称其是线性相关的（linearly dependent）。线性无关集合$X$被称为是$M$的一个基（basis）是指$M$可以由$X$生成。显然并不是每个非平凡模$M$都有非空的基底（例如$\Z_2$作为$\Z_6$模就没有基底，$\mathbb{Z}$作为$\mathbb{Z}$模有基底$\{1\}$）。可以证明：

含幺环$R$上的非平凡含幺左 R-模有非空基当且仅当它是自由模。

特别地，线性空间是自由的。

和直和的关系

设$F^R (X)$是集合$X$上的自由 R-模，那么

$$F^R (X) \cong \bigoplus_{x \in X} R_x.$$

其中$R_x$是循环子模且同构于$R$（作为$R$上的左 R-模），实际上从这两者的定义上就可以看到很多相似之处了。因此一般我们会用模的直和来表示自由模，例如在生成子模中。例如在线性空间中我们得到一个线性空间总是一些一维子空间的直和。

商的泛性质

和自由群一样，我们有：

任何一个 R-模都是某个自由模的商模。

实际上，具有这一性质的模也可以不是自由模，可以是更一般的投射模。

参考资料

1. Thomas W. Hungerford, Algebra, GTM Vol.73, Springer, New York, 1974, ISBN 978-0-3879-0518-1.