自然數

自然數是最為「自然」的數，也可說是數學的根本，其數量是無限的，每個數字都有數字比它更大，包含所有自然數的集合一般稱作自然數集合，自然數集合又記作$\mathbb{N}$，不包含0的自然數集合又稱正整數集合。

自然數集合可透過Peano公理來定義。

若對於一個集合X而言，存在一個由自然數集合或自然數的子集{1,2,3,......,n}映至X的雙射函數f，則稱X為可數集，因此自然數集合本身是可數的。

OEIS数列编号A001477

整數、有理數、實數、複數、四元數、八元數、十六元數、基數等都是由自然數衍生而來。 會了嗎？ 加油

性質

以下$+$為通常意義的加法的符號，$*$為通常意義的乘法的符號。

• 對於任意自然數$a$和$b$而言，$a+b$之和與$a*b$之積亦為自然數。
• 0(或1，若不把0視為自然數)為最小之自然數，因此對於任意自然數$a$而言，$a \ge 0$(或$a \geq 1$，若不把0視為自然數)，但不存在最大的自然數。
• 對於任意自然數$a$、$b$、$c$而言，$a*b + c = (a*b) + c$。括弧內的式子為先運算之式子，以下亦然。
• 對任意自然數$a$與$b$而言，若$a \geq b$(或$a > b$，若不把0視為自然數)，則$a-b$之差亦為自然數
• 對於任意自然數$a$、$b$、$c$而言，$(a+b)+c=a+(b+c)$；$a + b = b + a$(加法的交換律與結合律)
• 對任意自然數$a$而言，$a + 0 = 0 + a = a$
• 對於任意自然數$a$、$b$、$c$而言，$(a*b)*c = a*(b*c)$；$a*b = b*a$(乘法的交換律與結合律)
• 對於任意自然數$a$而言，$a*1 = 1*a = a$
• 對於任意自然數$a$、$b$、$c$而言，$(a + b)*c = a*c + b*c$；$c*(b + a) = c*b + c*a$
• 對任意自然數$a$與$b$而言，若$a\ne0$且$b\neq 0$，則$a*b \ne 0$；若$a$或$b$有一為0，或兩者皆為零，則$a*b = 0$。此處的$\ne$表「不等於」之意。
• 對任意自然數$a$與$b$而言，$a > b$、$a < b$或$a = b$這三關係間必有且僅有一個成立。
• 對於任意自然數$a$、$b$、$c$而言，若$a \le b$，則$a + c \le b + c$且$a*c \le b*c$，又若$d$為一自然數且有$a \le b$和$c \le d$，則有$a + c \le b + d$且$a*c \le b*d$
• 對任意自然數$a$與$b$而言，若$a < b$，則有一自然數n，使得$na \ge b$(阿基米德公理)
• 若把0視為自然數，則對任意自然數$a$與$b$而言，若$a > b$，則以下兩關係式有且僅有一個成立：
  • 存在一個不為零的自然數$c$，使得$a = b*c$
  • 存在一個不為零的自然數$c$及一個小於$b$且大於零的自然數$r$，使得$a = b*c + r$

由是可知，自然數(在通常定義下)的加法和乘法滿足交換律、結合律和分配律

Template:Navbox/1101720 Template:Navbox/1101730 Template:Navbox/1101780

參見

• 質數
• 數論
• 集合論
• 幾何
• 邏輯