自然对数的底

自然对数是一个数学中常用的数，它被记作e，是一个无理数，也是超越数。

定义

设有实数列$\{a_n\}_{n=1}^\infty = \left\{ \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \right\}_{n=1}^\infty$，我们利用单调有界定理来证明它存在极限。

利用二项式定理，有

$$\begin{align} a_n & = \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \dfrac{1}{n^k} \\ & = 1 + \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} \prod_{i=0}^{k-1} \left( 1 - \dfrac{i}{n} \right) \\ a_{n+1} & = 1 + \sum_{k=0}^{n+1} \dfrac{1}{k!} \prod_{i=1}^k \left( 1 - \dfrac{i}{n+1} \right) \\ & = 1 + \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} \prod_{i=0}^{k-1} \left( 1 - \dfrac{i}{n+1} \right) + \dfrac{1}{(n+1)!} \prod_{i=1}^{n-1} \left( 1 - \dfrac{i}{n+1} \right). \\ \end{align}$$

上式中对比$a_n$和$a_{n+1}$求和号中的前$n+1$项，注意到$1 - \dfrac{i}{n} < 1 - \dfrac{i}{n+1}$，所以$a_n < a_{n+1}$，单调性得证，下证有界性：

注意到

$$\begin{align} 0 < a_n & = 1 + \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} \prod_{i=0}^{k-1} \left( 1 - \dfrac{i}{n} \right) \\ & < 1 + \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} < 1 + 1 + \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k(k-1)} \\ & < 2 + \sum_{k=1}^n \left( \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1} \right) < 3. \end{align}$$

有界性得证，故数列$\{ a_n \}_{n=1}^\infty$收敛，我们定义收敛的值为$\text{e}.$

此外还可得到$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{n!} = \text{e}.$ Template:Navbox/1101740

参考资料

1. 崔尚斌, 《数学分析教程（下）》, 科学出版社, 北京, 2013-03, ISBN 978-7-0303-6807-2.