自然变换

在范畴论中，函子是范畴间的“映射”，而自然变换则是函子间的“映射”。

定义

设有范畴$\mathsf{C, D}$以及两个函子$F, G: \mathsf{C} \to \mathsf{D}$，如下映射 $$\begin{align} \operatorname{Obj} \mathsf{C} & \to \operatorname{Hom}_\mathsf{D} (F(A), G(A)),\\ A & \mapsto \alpha_A. \end{align}$$ 让$\alpha_A$遍历$A \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$，得到一族映射，它将$\mathsf{C}$上的元素映作一个态射。如果它还满足以下条件 $$\forall f: A \to B, G(f) \circ \alpha_A = \alpha_B \circ F(f).$$ 我们就称这族映射$\alpha = \{A \mapsto \alpha_A | \alpha_A: F(A) \to G(A), A \in \operatorname{Obj} \mathsf{C} \}$为一从函子$F$到$G$的一个自然变换（natural transformation）。也有将一族态射$\{ \alpha_A: F(A) \to G(A), A \in \operatorname{Obj} \mathsf{C} \}$称为自然变换的。

如果自然变换$\alpha: F \to G$中的一族态射$\{ \alpha_A: F(A) \to G(A), A \in \operatorname{Obj} \mathsf{C} \}$是同构，那么$\alpha: F \to G$称为从$F$到$G$的一个自然同构（natural isomorphism）。

函子范畴

设$\mathsf{C, D}$是范畴，$F, G, H: \mathsf{C} \to \mathsf{D}$是两个函子，$\alpha: F \to G, \beta: G \to H$是两个自然变换，那么定义如下自然变换的复合运算： $$\beta \circ \alpha: F \to H: A \mapsto F(A), F(A) \overset{\beta_A \circ \alpha_A}{\longrightarrow} H(A)$$ 也是一个自然变换。

设$\mathsf{C, D}$是小范畴，则以$\mathsf{C}$到$\mathsf{D}$的函子为对象，函子间的自然变换为态射，就构成一个范畴，称为函子范畴。

等价范畴

设有函子$F: \mathsf{C} \to \mathsf{D}$，如果存在函子$G: \mathsf{D} \to \mathsf{C}$和自然同构$1_\mathsf{C} \to G \circ F, 1_\mathsf{D} \to F \circ G$，则称函子$F$是一个等价函子（equivalent functor）。

进一步，如果范畴$\mathsf{C, D}$之间的等价函子存在，则称范畴$\mathsf{C, D}$是等价范畴（equivalent categories）。

显然范畴的等价是一种等价关系，满足自反性、对称性和传递性。

范畴$\mathsf{C, D}$是等价的还可以用如下条件来做等价刻画：
存在一个既单又满的函子$F: \mathsf{C} \to \mathsf{D}$使得$\forall B \in \operatorname{Obj} \mathsf{D}, \exists A \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$使得$F(A)$与$B$是同构。