自同构变换

引入线性变换的乘法之后，像加法有负元那样，我们也来考察一下乘法的逆元问题。以下均是在有限维线性空间上的讨论。

线性变换的秩

可以证明，定义在$V$上的一个线性变换$\mathcal{A}$，在任何一个基底下的表示矩阵的秩都是相等的，这个秩称为这个线性变换的秩。

可逆变换

定义在$V$上的一个线性变换$\mathcal{A}$，如果有如下条件成立 $$\exists \mathcal{B} \in L(V), s.t. \mathcal{AB} = \mathcal{BA} = \mathcal{E}$$ 就说线性变换$\mathcal{A}$是可逆的，我们把$\mathcal{B}$记作$\mathcal{A}^{-1}$。

例如，我们考察二维 Euclid 空间上的绕原点顺时针旋转$\frac{\pi}{3}$角度的变换$\mathcal{A}$，可知它有如下规律 $$\mathcal{A}^6 = \mathcal{E}$$ 这是因为绕原点顺时针旋转$2\pi = 6 \cdot \frac{\pi}{3}$角度后就相当于没有旋转（做了一个恒等变换），于是我们有$\mathcal{A}^{-1} = \mathcal{A}^5 \ne \mathcal{O}$，故$\mathcal{A}$是可逆的。

可以证明，一个线性变换是可逆变换等价于它在某一组（或任意一组）基底下的矩阵是可逆矩阵。另一方面，由矩阵乘法的秩的性质可知这个线性变换是满秩的。

自同构变换

当线性变换$\mathcal{A}$是双射时，它自然有逆映射。由线性空间同构映射的性质可知，$\mathcal{A}$是$V$到自身的同构映射，这时就称$\mathcal{A}$是自同构变换（automorphism transformation），显然它是一个可逆变换。

可以证明，只有可逆变换才是自同构变换，也就是说，自同构变换和可逆变换是等价的。

有限维空间单射与满射等价

在有限维空间上，线性变换$\mathcal{A}$如果是单射，它必是满射；如果它是满射，它也必是单射，即在有限维空间上单射和满射是等价的，只要有一者成立，就可以说明这个线性变换是双射（可逆变换，或自同构变换）。

这样的线性变换将一组基底变成另一组基底，更一般地，它保持了线性无关性。

上下节

• 上一节：线性变换的运算
• 下一节：线性变换的特征值和特征向量

  参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.