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自反空间(reflexive space)是一类特殊的赋范线性空间,它是自己可以和它的第二共轭空间通过自然嵌入来建立等距同构的空间。

第二共轭空间[]

假设赋范线性空间共轭空间的共轭空间,我们就称的第二共轭空间。可以证明存在一个单射(称为自然映射)

其中
如果上述自然映射还是满射,那么是等距同构的,这时我们就称是自反空间。自反空间一定是 Banach 空间,因为赋范线性空间的共轭空间一定是完备的。

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  1. 空间是自反空间,,当时不是自反空间。
  2. 有限维赋范线性空间(特别地,Euclid 空间)是自反空间。

等价刻画[]

一个 Banach 空间是自反的当且仅当其中的闭单位球满足如下性质其一:

  1. 角谷定理)弱紧。
  2. Eberlein-Schmulyan 定理)弱序列紧。

因此在 Banach 空间中,闭单位球的弱紧和弱序列紧等价,这是因为它们都等价于空间的自反性,但是由于弱拓扑一般而言不是第一可数的,因此这个等价性在其它的弱拓扑(例如*弱拓扑)中未必成立。

评注[]

  1. 在定义中我们要求的等距同构必须是,存在着这样的非自反空间,它到它的第二共轭空间存在一个等距同构,但是这个等距同构不是自然嵌入
  2. 自反空间的定义允许我们在一定程度上将视作差不多的空间,但是在一些细致问题上我们还是需要明确指出嵌入而非完全一样的空间。

性质[]

假设是两个保距同构的 Banach 空间,那么自反当且仅当自反。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
我们假设是保距同构映射,由 Eberlein-Schmulyan 定理可知我们只需要证明中的闭单位球是弱序列紧的,首先将强收敛序列映为强收敛序列,因为这里只需注意到保距性质

因此根据线性算子的弱收敛性质,它把弱收敛序列映成弱收敛序列,任取中的序列,存在使得,于是再由 Eberlein-Schmulyan 定理有弱收敛子列,进而是弱收敛的。

自反空间的闭子空间是自反的。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠

对子空间上的弱拓扑而言,下面两条都是等价的拓扑:

  1. 上的拓扑诱导出的子空间拓扑。
  2. 作为赋范线性空间时自己的弱拓扑。

因此这两个拓扑的性质我们可以综合使用,要说明自反,根据 角谷定理只需要说明中的闭单位球是弱紧的(按照上述第二条),而这个弱拓扑等价于上述第一条定义的拓扑,我们只需要说明是弱紧的(这里中的闭单位球),依然由角谷定理以及自反我们可以得到是弱紧的,而弱拓扑是 Hausdorff 的,这就表明是弱闭的,由于是线性子空间因此是凸的,对凸集而言强闭等价于弱闭(Mazur 定理),因此在弱紧空间中弱闭,因此它也是弱紧的。

一个 Banach 空间是自反的,当且仅当它的对偶空间是自反的。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
直观来看蕴含但是我们依然需要详细写出这个过程,确保中间的等距同构是上的自然映射。
  1. 假设是自反空间定义中的等距嵌入,那么我们要证明自然映射是满射,任取我们要证明存在使得实际上映射上的连续线性泛函,下面我们只需要证明即可,因此对任意,我们有
  2. 这里我们不需要重新仿照第一步再证明一遍,注意到可以等距嵌入到中然后再用自反空间的性质得到结果,这个技巧对一些适用于对偶性质的命题时比较有用。对用第一步的结论我们知道是自反的,然后的闭子空间,用#命题2可得自反,再用#命题1得到自反。
假设是赋范线性空间,自然映射闭值域算子当且仅当是 Banach 空间。
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如果是 Banach 的,那么是闭的(共轭空间总是闭的,第二共轭空间亦然),下面我们假设是闭值域算子来证明完备。

任取中的 Cauchy 列,即对任意存在使得当

那么由于保距,我们得到
因此中的 Cauchy 列,由于中闭(闭值域算子的定义)我们得到存在一个使得
的连续性就可以得到

假设是 Banach 空间,那么自反可分当且仅当自反可分。
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自反性是平凡的,我们只需要证明可分性,而充分性根据可分空间的性质立即得到,我们只需要证明必要性,注意到是自反可分的(等距同构保持自反性质和可分性质),那么可分蕴含可分。 注意这里自反性是必须的,可分空间的共轭空间未必可分但是反过来是对的,上面加上自反性将可分性变变成充要结果。
自反空间弱完备,即任意弱 Cauchy 序列都是弱收敛的。
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对任意的都是收敛的,不妨记其极限为,于是到数域上的线性泛函,我们还需要证明他是有界的,这样的话根据空间的自反性质存在使得就是的弱极限。

对任意的是有界的,由一致有界原理得到中有界,进而有界,不妨记。于是对取极限就表明是有界线性泛函。

参考资料

  1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义(上册)(第二版)》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.
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