自伴算子

在线性算子理论中，自伴算子（self-adjoint operator）是一类特殊的线性算子，是实空间中对称矩阵以及复空间中 Hermite 矩阵在一般的 Banach 空间中的推广。

定义

假设有 Banach 空间$X$，它的共轭空间记作$X^*$，我们称线性算子$A:X\to X^{*}$是自伴的，是指它满足 $$\langle Ax,y\rangle _{X^{*},X}=\langle x,Ay\rangle _{X,X^{*}},\quad \forall x,y\in X.$$ 由于$X$可以连续嵌入到$X^{**}$中，上面的式子也可以写为 $$\langle Ax,y\rangle _{X^{*},X}=\langle x,Ay\rangle _{X^{**},X^{*}},\quad \forall x,y\in X.$$ 如果$X$是 Hilbert 空间，那么$X$上的算子$A$自伴就等价于 $$(Ax,y)=(x,Ay),\quad \forall x,y\in X.$$ 即$A=A^{*}.$

我们期待分析一般的 Banach 空间上算子的自伴性，例如$L^p$空间上的算子，这要比 Hilbert 空间上的自伴算子困难，不过如果对 Banach 空间$X$而言，存在一个赋范线性空间$H$，使得

1. $H$作为$X$的赋范线性子空间是稠密的。
2. $H$上有自己的范数，且其可以诱导出完备的内积。

（注意$H$按照自身上的范数并不在$X$中稠密，相关问题可参见 Riesz 表示定理/谬误）我们就可以使用$H$上的内积结构以及其在$X$中的稠密性来分析自伴算子$A:X\to X^{*}$，这时我们注意到三元空间对$(X^{*},H,X)$满足 $$X^{*}\subset H\subset X.$$ 那么$A:X\to X^{*}$自伴就等价于 $$(Ax,y)=(x,Ay),\quad \forall x,y\in H.$$ 例如$L^p$到$L^{p'}$的算子，那么$H$就可以取$L^{2}\cap L^{p}.$

分数次幂

连续自伴算子的行为和对称矩阵差不多，特别是半正定的连续自伴算子。

假设$X$是 Banach 空间，$A:X\to X^{*}$是连续的半正定自伴算子，$H$是一个 Hilbert 空间且$H$在$X$的范数下是$X$的稠密子空间，那么存在一个半正定的连续算子$B:H\to R(A)$满足

$$A|_{H}=B^{2}.$$

由于$B$定义在$X$的稠密子空间$H$上，故存在唯一的保范连续延拓$\overline{B}$定义在$X$上，我们把$\overline{B}$称为$A$的半正定平方根，记作$A^{\frac {1}{2}},A^{1/2}$或$\sqrt{A}.$

在上一个定理的假设下，如果$A$还是紧的，那么$A^{1/2}$也是紧的。

谱理论

可分 Hilbert 空间$H$上的紧的自伴算子$B$可以有如下的表示 $$Bx=\sum _{k=1}^{\infty }\mu _{k}(x,e_{k})e_{k}.$$ 其中$\mu _{k},e_{k}$是$B$的第$k$个实特征值以及特征向量。在一般的 Banach 空间到其共轭空间上的紧自伴算子也有这样的性质，不过需要用一个 Hilbert 空间过渡。

在这个定理的假设下，如下定义的$H\to X^{*}$的部分和算子

$$A_{n}x=\sum _{k=1}^{n}\mu _{k}(x,e_{k})e_{k}$$

在$X$上的唯一连续延拓在算子范数的意义下收敛到$A.$其中$\mu _{k},e_{k}$是$A|_{H}$的第$k$个实特征值以及特征向量。

如果 Hilbert 空间$H$上的自伴算子$A$不紧，那么情况就复杂一些了，不过我们可以断言，$A$除了点谱（特征值）之外就是连续谱，这是因为对于一个固定的特征向量（如果存在）$\lambda \in \sigma(A)$，它对应的特征子空间是一个不变子空间，确切地说我们有

假设$L$是 Hilbert 空间$H$上的有界自伴算子$A$的不变子空间，那么

1. $L$在$H$中的补空间也在$A$下不变。
2. 如果$\lambda$是$A$的一个特征值，记算子$A_{\lambda }:x\mapsto Ax-\lambda x$在$H$中的值域是$G_{\lambda }$，那么$H=G_{\lambda }\oplus N_{\lambda }$，其中$N_{\lambda }$是$A$对应于特征值$\lambda \in \sigma(A)$的特征子空间，进而$G_{\lambda }$也是$A$的不变子空间。

这样子，$\{N_{\lambda }\}_{\lambda \in \sigma (A)}$的直和$N$也是$A$的不变子空间，如果$N=H$，那么这就等价于$A$的全部谱点都是点谱，否则存在非点谱的谱点。

假设$A$是 Hilbert 空间$H$上的有界自伴算子，$L$是$A$的一个不变子空间，那么

定义$A_{L}:L\to L,x\mapsto Ax$是$L$上的有界自伴算子，且若$M$是$L$在$H$中的补空间，定义$A_{M}:M\to M,x\mapsto Ax$是$M$上的有界自伴算子，且在集合包含的意义下$A$的谱是$A_L$以及$A_M$的谱的并集，

取上述命题中的$L=N$，那么$M$非平凡的时候，$A_M$的谱就称为是$A$的连续谱。

无界算子

上面我们都是假设$A$在$H$上连续紧而讨论相关性质的，如果$A$只在$H$的一个稠密子空间$D(A)$上有定义且可能是无界的，那么按照共轭算子的定义，$A^*$定义在$D(A^{*})\subset X^{*}$上，如果在$D(A)=D(A^{*})$上$A$与$A^*$作用相同，即 $$(Ax,y)=(x,Ay),\quad \forall x,y\in D(A)=D(A^{*})\subset H.$$ 我们就说$A$是自伴的。

由定义直接得出自伴算子是闭算子（因为共轭算子总是闭的）。关于无界自伴算子的谱理论参见谱函数。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.
2. L.A. Lusternik, V.J. Sobolev, Elements of Functional Analysis(3rd Ed.), International monographs on advanced mathematics & physics, John Wiley & Sons Inc, 1975, ISBN 978-0-4705-5650-4.

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.
2. L.A. Lusternik, V.J. Sobolev, Elements of Functional Analysis(3rd Ed.), International monographs on advanced mathematics & physics, John Wiley & Sons Inc, 1975, ISBN 978-0-4705-5650-4.