聚点

聚点是点集拓扑中的一个基本概念。

定义

设$X$是一个拓扑空间，子集$A \subset X$，$p \in X$称为$A$的聚点（accumulation point, cluster point）定义为：$p$的任何邻域都包含$A - \{ p \}$的至少一个点，上述定义可以把邻域改为开邻域。$A$的全体聚点的集合称为$A$的导集，记作$A'.$

和聚点相对的概念是孤立点（isolated point）：$p \in A$被称为是孤立点是指：$p$在$X$中有一个邻域$U$使得$U \cap A = \{ p \}.$

$p \in A$称为$A$的极限点（limit point）定义为，$p$的任何邻域都包含$A$的至少一个点。有的资料中对聚点和极限点的概念不加区分。

聚点、孤立点和极限点都是一个拓扑空间中点集$A$的性质。聚点不一定在$A$中，孤立点和极限点都在$A$中。

性质

1. $A \subset X$是闭集当且仅当$A' \subset A.$

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.