群的直积

在群论中，两个群的直积（direct product）是利用已知群构造一个新群的最简单方法，是群范畴上范畴对象的乘积的一种实例，类似于集合的笛卡尔积。直积概念加以推广可以得到群的半直积。

直积

有限维直积

设有两个群$G, H$，我们在集合$G$和$H$的笛卡尔积$G \times H = \{ (g, h) | g \in G, h \in H \}$上定义如下乘法运算： $$(g_1, h_1) \cdot (g_2, h_2) = (g_1 \cdot g_2, h_1 \cdot h_2).$$ 可以验证$(G \times H, \cdot)$构成一群，我们称其为$G$和$H$的直积。这样定义的直积有泛性质。

可以将它推广到有限个群上去，但是要想在无限个群上推广他们的直积，将会得到不同的结果，下面我们讨论这两种推广（直积和弱直积），假设有指标集$I$索引的一个群的集族$\{ G_i \}_{i \in I}$。

无限维推广

为了叙述严格一些，我们不得不借助指标集到群的集族之间的自然映射来描述群的元素，将$G_i$视作集合作 Cartesian 积$\prod_{i \in I} G_i$，这个自然映射是$\prod_{i \in I} G_i$的一个元素$g: I \to \bigcup_{i \in I} G_i, i \mapsto g_i \in G_i$，可以简写为$g = (g_i)_{i \in I}$或$(g_i)$（有限维中这个映射是对应于坐标的自然投射）。

在集合$\prod_{i \in I} G_i$上定义一个二元运算$\cdot$，对任意的元素$g = (g_i), h = (h_i)$，定义$gh := g \cdot h := (g_i h_i)$，显然$gh \in \prod_{i \in I} G_i$因为$g_i h_i \in G_i$。这样$\prod_{i \in I} G_i$连同上面定义的二元运算就形成一个群，称为完全直和（complete direct sum）或直积。

可以证明$\pi_k: \prod_{i \in I} G_i \to G_k, (g_i) \to g_k, k \in I$是满同态，称为典则投射（canonical projection）。

泛性质

上面的有限维或者无穷维的直积满足群范畴中乘积范畴的泛性质。

假设有群$H$以及群的集族$\{ G_i \}_{i \in I}$，$\{ \varphi_i: H \to G_i \}_{i \in I}$是一族群同态，那么存在唯一的群同态$\varphi: H \to \prod_{i \in I} G_i$满足 $$\pi_i \circ \varphi = \varphi_i, \quad \forall i \in I.$$ 且直积$\prod_{i \in I} G_i$是满足该性质的同构意义下唯一的群。

弱直积

弱直积（weak direct product）也称为外直积（external direct product），在交换群的场合下称为外直和（external direct sum），一个群的集族$\{ G_i \}_{i \in I}$的弱直积的底集是下面的集合 $$\left\{ g = (g_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I} G_i, g_i = e_i \text{ for all but finitely } i \in I. \right\}$$ 其中$e_i$是$G_i$的单位元。这个集合连同直积中定义的二元运算一起可以构成一个群，称为弱直积，记作${\prod_{i \in I}}^w G_i.$

如果指标集$I$有限，那么上面的直积和弱直积等价。弱直积有如下的性质：

1. 是直积的正规子群。
2. 对任意的$k \in I$，$\iota_k: G_k \to {\prod_{i \in I}}^w G_i, a \to (g_i), g_i = \begin{cases} a, i = k, \\ e_i, i \ne k \end{cases}$是单同态，称为典则单射（canonical injection）。
3. $\iota_i(G_i)$是${\prod_{i \in I}} G_i$的正规子群。

泛性质

在交换群范畴中，上述定义的交换群的弱直积/外直和是这个范畴中的余积，即

假设有交换群$H$以及交换群的集族$\{ G_i \}_{i \in I}$，$\{ \psi_i: G_i \}_{i \in I} \to H \}$是一族交换群同态，那么存在唯一的交换群同态$\psi: {\prod_{i \in I}}^w G_i \to H$满足 $$\psi \circ \iota_i = \psi_i, \quad \forall i \in I.$$ 且${\prod_{i \in I}}^w G_i$是满足该性质的同构意义下唯一的交换群。

一般的群范畴中弱直积不是余积，实际上，群范畴的余积是自由积。

内直积

设有两个群$G, H$，若$G \cap H = \{ e \}$，那么 $$gh = hg, \quad \forall g \in G, h \in H.$$ 进一步， $$GH \cong G \times H.$$ 这里$GH = \{ gh: g \in G, h \in H \}$称作内直积。一般地我们可以引入下面的定义：

假设$G$是一群，$\{ H_i \}_{i \in I}$是$G$的正规子群族，满足：

1. $H_i \cap \langle \cup_{i \ne k} H_k \rangle = \{ e \},$
2. $G = \langle \cup_{i \in I} H_i \rangle.$

我们就称$G$是$\{ H_i \}$的内直积（internal direct product），交换群的场合下称为内直和（internal direct sum）。这个定义比较明了易于理解，但是条件二在验证的时候有时不方便，因此有下面的等价条件： $$g_1 g_2 \cdots g_n = e, g_i \in H_i \Rightarrow g_i = e.$$ 或非单位元的表法唯一： $$\forall g \in G - \{ e \}, g = a_{i_1} a_{i_2} \cdots a_{i_n}, a_{i_k} \in H_{i_k} - \{ e \}, i_j \ne i_k \text{ when } j \ne k.$$ 当$I$有限时，内直积和外直积定义等价，统称为群的直积。

同态定理

假设$\{ f_i: G_i \to H_i \}_{i \in I}$是一族群同态，那么 $$\begin{align} f := \prod_{i \in I} f_i: \prod_{i \in I} G_i & \to \prod_{i \in I} H_i, \\ (g_i)_{i \in I} & \mapsto (f_i(g_i))_{i \in I} \end{align}$$是一个群同态，且

1. $\text{ker} f = \prod_{i \in I} \text{ker} f_i.$
2. $\text{im} f = \prod_{i \in I} \text{im} f_i.$
3. $f\!\left( {\prod_{i \in I}}^w G_i \right) \subset {\prod_{i \in I}}^w H_i$

由此可推得：假设$H_i$是$G_i$的正规子群，取$f_i = \pi_i: G_i / H_i$为自然满同态，

1. $\prod_{i \in I} H_i$是$\prod_{i \in I} G_i$的正规子群，且$\left. \prod_{i \in I} G_i \right/ \prod_{i \in I} H_i \cong \prod_{i \in I} G_i/H_i.$
2. ${\prod_{i \in I}}^w H_i$是${\prod_{i \in I}}^w G_i$的正规子群，且$\left. {\prod_{i \in I}}^w G_i \right/ {\prod_{i \in I}}^w H_i \cong {\prod_{i \in I}}^w G_i/H_i.$

参考资料

1. Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0, GTM Vol.104, American Mathematical Society, 2009-08, ISBN 978-1-4704-6571-1.