群作用

群作用（group action）是一个群的元素作用在集合的元素上得到的结果。

定义

设$G$是一群，$S$是一个非空集合，称如下定义的映射

$$\begin{align} \sigma(g): G \times S & \to S, \\ (g, s) & \mapsto \sigma(g) (s) =: \sigma_g(s). \end{align}$$

为群中$g$在集合$S$上的作用。定义如下映射

$$\begin{align} \sigma: G & \to \text{Aut}_\mathsf{Set} (S), \\ g & \mapsto \sigma(g) =: \sigma_g. \end{align}$$

为群$G$在$S$上的作用，如果满足

1. $\forall g, h \in G, \forall s \in S, \sigma_g(\sigma_h(s)) = \sigma_{gh}(s);$
2. $\forall s \in S, \sigma_e(s) = s.$

其中$e$是$G$的单位元，$\text{Aut}_\mathsf{Set} (S)$是$S$上所有双射的集合。

一般所说的作用是左乘作用，即$\sigma_g(s) =: gs \in S$表示$g$作用$s$，此处并无乘法意义。对偶的有右乘作用：$\sigma_g(s) = sg$，在群同构$\varphi: g \mapsto g^{-1}$的意义下两种作用是等价的。

此外应用广泛的作用是共轭群作用：$\sigma_g(s) =: gsg^{-1} \in S.$

例子

最简单的一个群作用是群到自身底集的作用，即

$$\begin{align} \sigma(g): G \times G & \to G, \\ (g, h) & \mapsto gh. \end{align}$$

此外最常用的是群$G$到它的一个左陪集$G/H$上的作用

$$\begin{align} \sigma(g): G \times G/H & \to G/H, \\ (g, sH) & \mapsto gsH. \end{align}$$

与群同态的关系

上述定义的$\sigma(g)$是一个双射，并且

$$\begin{align} \sigma: G & \to \text{Aut}_\mathsf{Set} (S), \\ g & \mapsto \sigma(g). \end{align}$$

是一个群同态，即有

$$\forall g, h \in G, \quad \sigma(gh^{-1}) = \sigma(g) \circ \sigma(h)^{-1}.$$

上述右端是映射的合成和逆，或者

1. $\forall g, h \in G, \sigma(gh) = \sigma(g) \circ \sigma(h);$
2. $\sigma(e) = i_S.$

上述两条分别对应于群作用定义的两条。

上述表述反过来也对，这也就是说$G \times S \to S$是群作用等价于$\sigma: G \to \operatorname{Aut}_\mathsf{Set} (S)$是一群同态。

Cayley 定理

如果$\sigma: G \to \text{Aut}_\mathsf{Set} (S)$是一个单射（即单同态），我们就称群作用$G \times S \to S$是忠实的（faithful）。

Cayley 定理是说，群作用$G \times S \to S$在某些集合（例如，$G$）上是忠实的，换句话说就是每一个群都可以“嵌入”到一个置换群（可以是$\text{Aut}_\mathsf{Set} (G)$）上去。

范畴$G-\mathsf{Set}$

给定一个群$G$，对一些集合$S$而言可以建立不同的群作用，我们可以引入如下定义的一个范畴$G-\mathsf{Set}$

1. 对象是所有群作用$\rho_S: G \times S \to S$
2. 态射是两个群作用$\rho_S: G \times S \to S, \rho_T: G \times T \to T$间的集合映射$\varphi: S \times T.$它会使得下图可换

即满足

$$g \varphi(a) = \varphi(ga), \quad \forall a \in S, \forall g \in G$$

两个群作用$G \times S \to S$和$G \times T \to T$是同构的，如果存在一个双射$\varphi: S \times T.$这里的同构依赖于集合等势，和群的同构稍有不同。