群

在抽象代数中，群（group）是一个基本的概念，在集合论的公理化中，群是一个非空集合加上满足某些性质的运算的一个整体。

定义

设有一个非空集合$G$，其上定义了一个二元运算$\cdot$。我们称$(G,\cdot)$是一个群，如果

1. 结合性：$\forall a, b, c \in G, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c);$
2. 单位元：$\exists e \in G, \forall a \in G, a \cdot e = e \cdot a = a;$
3. 逆元：$\forall a \in G, \exists b \in G, a \cdot b = b \cdot a = e.$

群$(G,\cdot)$在不引起混淆的情况下也记作$G$，该运算$\cdot$也称作群$G$上的“乘法”。

1. 群中的单位元是唯一的，通常将其记作$e$；
2. 群中的逆元是唯一的，对于$a \in G$的逆元，通常将其记作$a^{-1}.$

为了方便，我们使用记号$ab$代替$a, b \in G$的“乘法”$a\cdot b$，同时$ab$也表示其运算的结果；另外使用记号$a^n$表示$n$个$a$做“乘法”运算，其中$n \in \mathbb{N}^+$，约定$a^0 = e, a^{-n} = (a^{-1})^n, n \in \N^+.$ 但这个“乘法”仅仅是该二元运算便于理解的俗称. 千万不可将其与通俗意义上的乘法混淆！

交换群

称一个群$G$是可交换的（换言之，是交换群或称Abel 群），如果满足

• $\forall a, b \in G, a \cdot b = b \cdot a.$

在交换群$G$中，我们通常使用$+$作为群上的运算，这时对应的单位元也称作零元，记作$0$（它是$G$中的元素，切不可和自然数零混淆），元素$a \in G$的逆元也称作负元，记作$-a$。

在交换群中，也有相应的记号$na, -na, n \in \N^+$以及约定$0a = 0.$

阶

在一个群$G$中，元素$a \in G$，如果$\exists n \in \N^+$，使得$a^n = e$，我们取最小的正整数$n$，将其称作元素$a$在群$G$中的阶（order），记作$|a|$，如果$\forall n \in \N^+, a^n \ne e$，我们就称元素$a$在群$G$中的阶为无穷，记作$|a| = \infty.$

实际上，由带余除法可知，所有使得$a^n = e$的$n$总是$|a|$的倍数。

对于$a\in G,m\in \mathbb {N}$，有$|a^{m}|={\dfrac {|a|}{\gcd(m,|a|)}}.$

请将群的阶的概念和同余类（一种特殊的群）的元素的阶作比较。

例子

• 最简单的群只有一个元素$\{a\}$，定义的运算是$(a, a) = a$，自身就是单位元，称为平凡群。
• 整数全体关于加法构成交换群，进一步，任意数域关于加法构成交换群，一向量空间中的向量关于加法构成交换群。
• 整数（除去零）关于乘法构成一群。
• 整数关于模一数同余构成一群，详见同余类的代数结构。
• 一可列集合$A$关于该集合到自身的所有双射构成一群，称为对称群，记作$S_{|A|}.$
• 正$n$边形上的点关于所有的旋转$\dfrac{2k\pi}{n}, k \in \N$与过对称轴的翻折的操作构成一群，称为二面体群，记作$D_{2n}.$

参考资料

1. Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0, GTM Vol.104, American Mathematical Society, 2009-08, ISBN 978-1-4704-6571-1.