实变函数论中，绝对连续函数 是满足微积分基本定理 充要条件的函数，借助 Lebesgue 积分 的研究，微积分基本定理的条件得以弱化为充要形式。
定义 [ ] 定义在区间
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
∀
ε
>
0
,
∃
δ
>
0
{\displaystyle \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
(
a
k
,
b
k
)
,
k
=
1
,
2
,
⋯
,
n
{\displaystyle (a_k, b_k), k = 1, 2, \cdots, n}
∑
k
=
1
n
(
b
k
−
a
k
)
<
δ
{\displaystyle \sum_{k=1}^n (b_k - a_k) < \delta}
时有
∑
k
=
1
n
|
f
(
b
i
)
−
f
(
a
i
)
|
<
ε
{\displaystyle \sum_{k=1}^n |f(b_i) - f(a_i)| < \varepsilon}
我们就称这样的函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
是
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上的绝对连续函数。上述定义可以等价写为定义在
区间
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上的实值函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
，
∀
ε
>
0
,
∃
M
>
0
{\displaystyle \forall \varepsilon > 0, \exists M > 0}
使得对于
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
中的任意有限个互不相交的开区间
(
a
k
,
b
k
)
,
k
=
1
,
2
,
⋯
,
n
{\displaystyle (a_k, b_k), k = 1, 2, \cdots, n}
满足
∑
k
=
1
n
|
f
(
b
i
)
−
f
(
a
i
)
|
⩽
M
∑
k
=
1
n
(
b
k
−
a
k
)
+
ε
.
{\displaystyle \sum_{k=1}^n |f(b_i) - f(a_i)| \leqslant M \sum_{k=1}^n (b_k - a_k) + \varepsilon.}
高维推广 [ ] 假设定义在可测集
U
⊂
R
n
{\displaystyle U \subset \R^n}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
∀
ε
>
0
,
∃
δ
>
0
{\displaystyle \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0}
m
(
E
)
<
δ
,
E
⊂
U
{\displaystyle m(E) < \delta, E \subset U}
|
f
(
E
)
|
<
ε
{\displaystyle |f(E)| < \varepsilon}
f
{\displaystyle f}
m
{\displaystyle m}
U
{\displaystyle U}
Lebesgue 测度 。
说明 [ ] 绝对连续的函数是一致连续 函数，反之未必。
绝对连续函数是有界变差函数 ，反之未必。
绝对连续函数的和差与数乘依然是绝对连续函数，乘积未必。
Lipschitz 连续 的函数一定是绝对连续函数。一个 Lebesgue 可积 的一元实函数的不定积分 是绝对连续函数。
绝对连续函数是几乎处处可微的，且它的微分 是 Lebesgue 可积的。
绝对连续函数的复合不一定是绝对连续的。
一个连续的有界变差函数，它是绝对连续的当且仅当零测集的像是零测集。 若
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
∫
a
x
f
′
(
t
)
d
t
=
f
(
x
)
−
f
(
a
)
,
∀
x
∈
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle \int_a^x f'(t) \mathrm{d}t = f(x) - f(a), \quad \forall x \in [a, b].}
上述积分是在 Lebesgue 积分意义下的。
一个定义在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
一旦微积分基本定理推广到 Lebesgue 积分的场合下，积分第一中值定理 、积分第二中值定理 、分布积分公式 、换元积分公式都可以相应推广。
在测度论中类似的定理是 Radon-Nikodym 定理 ，它需要引入下面集函数的绝对连续性来对符号测度 能否表示为不定积分的形式做刻画。
集函数 [ ] 在测度论中集函数的绝对连续性是这样定义的：假设
φ
{\displaystyle \varphi}
测度空间
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F}, \mu)}
μ
(
A
)
=
0
⟹
φ
(
A
)
=
0.
{\displaystyle \mu(A) = 0 \Longrightarrow \varphi(A) = 0.}
我们就称
φ
{\displaystyle \varphi}
是对
μ
{\displaystyle \mu}
绝对连续的，记作
φ
≪
μ
{\displaystyle \varphi \ll \mu}
。显然
φ
≪
μ
{\displaystyle \varphi \ll \mu}
当且仅当全
变差
|
φ
|
≪
μ
.
{\displaystyle |\varphi| \ll \mu.}
与之相对的概念是奇异性：假设有可测空间
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F})}
φ
,
ψ
{\displaystyle \varphi, \psi}
N
⊂
F
{\displaystyle N \subset \mathcal{F}}
|
φ
|
(
N
c
)
=
|
ψ
|
(
N
)
=
0
{\displaystyle |\varphi|(N^c) = |\psi|(N) = 0}
φ
{\displaystyle \varphi}
ψ
{\displaystyle \psi}
φ
⊥
ψ
.
{\displaystyle \varphi \perp \psi.}
如果
φ
≪
μ
,
φ
⊥
μ
{\displaystyle \varphi \ll \mu, \varphi \perp \mu}
μ
=
0.
{\displaystyle \mu = 0.}
假设有可测空间
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F})}
φ
,
ψ
{\displaystyle \varphi, \psi}
φ
{\displaystyle \varphi}
ψ
{\displaystyle \psi}
φ
≪
|
ψ
|
{\displaystyle \varphi \ll |\psi|}
φ
≪
ψ
.
{\displaystyle \varphi \ll \psi.}
类似于 Lebesgue 测度中绝对连续函数的
ε
−
δ
{\displaystyle \varepsilon-\delta}
假设
φ
{\displaystyle \varphi}
是测度空间
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F}, \mu)}
上对
μ
{\displaystyle \mu}
绝对连续的有限符号测度，那么
∀
ε
>
0
,
∃
δ
>
0
{\displaystyle \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0}
使得当
μ
(
E
)
<
δ
{\displaystyle \mu(E) < \delta}
时有
|
φ
(
E
)
|
<
ε
.
{\displaystyle |\varphi(E)| < \varepsilon.}
参考资料 Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions(4th Ed.) , Studies in Advanced Mathematics Vol.5 , CRC Press, 1991, ISBN 978-0-8493-7157-8 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1 
![{\displaystyle [a,b]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/f6257fd8e02b31abfa0fbeed7ab806e5d09a72d6)
![{\displaystyle \int _{a}^{x}f'(t)\mathrm {d} t=f(x)-f(a),\quad \forall x\in [a,b].}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/293a521ef7ef81fbe684059a70bb801c7d2ac5b9)
