线面度量性质

欢迎来到解析几何的三维空间几何部分！
在这里你将了解到有关空间曲面曲线以及空间变换的相关知识，希望你能收获更多！

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借助向量和坐标研究空间中平面和直线的度量性质是一个有效的手段，以下总设几何空间中的仿射标架是右手直角标架。

长度问题

点到平面的距离

设点$M(x_0, y_0, z_0)^\text{T}$，平面$\pi : Ax + By + Cz + D = 0$，设动点$P$在平面$\pi$内，我们把$|P M|$的最小值称作点$M_0$到平面$\pi$的距离，记作$d(M, \pi)$。

可以证明，

$$d(M, \pi) = \dfrac{|Ax_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$$

点到直线的距离

设点$M$，设直线$l$过$P_0$且方向向量为$\vec{v}$，设动点$P$在直线$l$上，我们把$|M P|$的最小值称作点$M$到直线$l$的距离，记作$d(M, l)$。

可以证明，

$$d(M, l) = \dfrac{|\vec{v} \times \overrightarrow{M P_0}|}{|\vec{v}|}.$$

两条直线的距离

两条直线的距离定义为这两条直线上的点间的最短距离'

当这两条直线重合或相交时距离为零，当这两条直线平行时，它们之间的距离就是其中一条直线上一点到另一条直线的距离，当这两条直线异面时，其距离是它们的公垂线段的长度，设异面直线$l_1, l_2$分别过点$P, Q$，那么它们之间的距离

$$d(l_1, l_2) = \dfrac{|\overrightarrow{PQ} \times \vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$$

这个式子的几何意义是通过平行六面体的体积计算得到的。

角度问题

线线角

两条直线所成的角度规定为它们的方向向量所夹角中小于$\dfrac{\pi}{2}$的那一个，其本质还是向量的夹角。

线面角

直线$l$与平面$\pi$的夹角规定为直线$l$与它在平面$\pi$上的射影所成的角。

设平面$\pi$的法向量是$\vec{n}$，直线$l$的方向向量是$\vec{v}$，那么线面角

$$\sin \theta = |\cos \langle \vec{v}, \vec{n} \rangle |, \quad \theta \in [0, \dfrac{\pi}{2}].$$

面面角

两个相交平面的夹角规定为这两个平面所成二面角中的任何一个，设平面$\pi_1, \pi_2$的法向量是$\vec{n_1}, \vec{n_2}$，那么它们的面面角满足

$$\cos \theta = \dfrac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}.$$

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