线性算子/弱连续

这个页面介绍有关 Banach 空间中线性算子的一个重要性质，直白来讲这个性质是线性算子的强-强连续性等价于弱-弱连续性。

基本内容

假设$X, Y$是 Banach 空间，另有线性算子$T: X \to Y$，记$X_w = (X, \sigma(X, X^*))$为线性空间$X$配上弱拓扑构成的拓扑线性空间，同样记$Y_w = (Y, \sigma(Y, Y^*))$为线性空间$Y$配上弱拓扑构成的拓扑线性空间，$X_s, Y_s$为线性空间$X, Y$分别配上各自的强拓扑/范数拓扑构成的拓扑线性空间，那么下面三个命题等价：

1. 强-强$S \to S:$$T$是$X_s$到$Y_s$连续的。
   1. 这等价于$T$将$X$中的强收敛序列映为$Y$中的强收敛序列（即$T$连续）。
2. 弱-弱$W \to W:$$T$是$X_w$到$Y_w$连续的。
   1. 由于弱拓扑可以不是第一可数的，连续性可能没有序列语言。
   2. 根据弱拓扑的泛性质，这等价于对任意的连续线性泛函$f \in Y^*$，$f \circ T$都是（强）连续的。
3. 强-弱$S \to W:$$T$是$X_s$到$Y_w$连续的。

需要注意，对于非线性算子来说，上面的等价一般不再成立，这也是处理非线性问题的难点之一。

证明

• 1推2：任取$f \in Y^*$，由$T$的强连续性，连续映射的复合$f \circ T$依然连续和上述弱连续的等价性质，得到$T$是$W \to W$的。
• 2推3：这个结果是平凡的，因为弱开集一定是强开集因此$T$在$Y_w$中的弱开集的原象是$X_w$中的弱开集，进而是$X_s$中的强开集。
• 2推1：$T$的弱连续性得到它的图像$G(T) = \{ (x, Tx): x \in X \}$是弱闭的，我们只需要证明它是强闭的即可，实际上，对任意强收敛到$(x, y) \in X \times Y$的序列$\{ (x_k, y_k) \}_k$，按照乘积拓扑的性质，$x_k, y_k$分别强收敛到$x, y$，进而弱收敛到$x, y$，于是依然根据乘积拓扑的性质我们有$\{ (x_k, y_k) \}_k$弱收敛到$(x,y)$，那么由图的弱闭性质得到$(x, y) \in G(T).$这就说明图是强闭的，由闭图像定理得到$T$是强连续的。
• 3推2：对任意$x_k \to x \in X$，我们有$Tx_k$弱收敛到$Tx$，因此对任意$f \in Y^*$，$f \circ T$是强-强的，于是根据1推2得到$f \circ T$是弱-弱的，由于$f \circ T$的值域$R$是一维的，这表明$R$上的强弱收敛等价，于是$f \circ T$是弱-强的，根据一开始给出的泛性质得到$T$是弱-弱的。

弱-强性质

在上面的等价中，我们未指出弱-强性质的等价性，实际上弱-强蕴含强-强，但是反过来一般不对，弱-强性质要比以上三条都严格，实际上我们有：

假设$X, Y$是 Banach 空间，那么线性算子$T: X \to Y$是弱-强的当且仅当它是强-强的且它是$\text{dim} R(T) < +\infty$，即$T$是有限秩连续算子。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

分别证明充分和必要性：

1. 充分性：假设$T$是有限秩连续算子，那么$R(T)$和$\R^n$代数同构拓扑同胚，因此其上的弱拓扑等价于强拓扑，再由$T$强-强得到它是弱-弱的，从而是弱-强的。
2. 必要性：假设线性算子$T$是弱-强的，那么
   1. $T$是强-强的，和上面2推3类似，$T$在$Y_s$中的强开集的原象是$X_w$中的弱开集，进而是$X_s$中的强开集。
   2. 对任意的$\varepsilon > 0$存在原点$0 \in X$的一个弱开邻域$V$使得$x \in V$蕴含$\| Tx \| \leqslant \varepsilon$，我们可以假设$V$有形式（参见弱拓扑#邻域基）
      $$V = \{ x \in E: |\langle f_i, x \rangle| < \delta, i = 1,2,\cdots,n \}, \quad f_i \in X^*, \delta > 0, i = 1,2,\cdots,n.$$
      令
      $$M = \bigcap_{i=1}^n \ker f_i \subset V$$
      那么对任意$x\in M$都有$Tx = 0$，而$M$是余有限维的，根据补空间#例子中的第三个例子可以得到$X$由补空间的直和分解$X = M + N$其中$N$是有限维（$n$维）的，这就表明$T$的值域$R(T) = T(N)$是有限维的。

紧算子情形

我们在上面的证明中看到，弱拓扑下的连续性没有序列语言导致我们只能用拓扑上的手段研究相关问题，但是下面我们指出：紧算子满足的弱-强性质是序列语言描述的，且在自反空间中是充要条件。

假设$X, Y$是 Banach 空间，$T: X \to Y$是连续线性算子，如果它把任意$X$中的弱收敛序列$\{ x_n \}$映成$Y$中的强收敛序列，那么它是紧算子。如果$X$自反，那么反过来也对。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

1. $T$是强-强的蕴含$T$是弱-弱的，那么对任意$f \in X^*$，$f \circ T$都是强连续的，因此$f(Tx_k) \to Tx$，这就是弱收敛序列的一个等价定义，我们得到$\{ Tx_k \}$弱收敛到$Tx$，$\{ Tx_k \}$是有界序列，因而由紧算子的定义在$Y$中存在一个紧集$K$使得$\{ Tx_k \} \subset K$，下面我们证明强收敛（进而由弱收敛和强收敛极限的唯一性我们得到$Tx_k \to Tx$），用反证法，如果$\{ Tx_k \}$不强收敛，那么对任意$\varepsilon > 0$存在$\{ Tx_k \}$的一个子列$\{ Tx_{k_j} \}$满足对任意$j \in \N$都有
   $$\| Tx - Tx_{k_j} \| \geqslant \varepsilon. \quad(1)$$
   但是$Tx_{k_j}$在紧集$K$中，因此存在一个子列（不妨仍记作$\{ Tx_{k_j} \|$）使得$\{ Tx_{k_j} \}$强收敛到$K$中的一个元素，这就和$(1)$式矛盾。
2. 假设$X$自反，对任意有界序列$\{ x_k \} \subset X$，由 Eberlein-Schmulyan 定理这个序列有弱收敛子列$\{ x_{k_j} \}$，由条件进而$\{ Tx_{k_j} \}$强收敛，根据紧算子的等价刻画这就表明$T$是紧的。

参考资料

1. Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN 978-0-3877-0913-0.