线性算子

线性算子（linear operator）是线性泛函分析的基础概念，它是许多线性运算的推广。

概念

假设$X, Y$是线性空间，$D$是$X$的线性子空间，并假设$T: D \to Y$是一个映射，我们称$D$为$T$的定义域（domain），记作$D(T)$，$R(T) = \{ Tx: x \in D \}$称为值域（range）（也有将其称为象集而将$Y$称为值域的，这里采用前一种描述），如果$T$还满足

$$T(\alpha x + \beta y) = \alpha Tx + \beta Ty, \quad \forall \alpha, \beta \in \mathbb{K}, \forall x, y \in X.$$

我们就称$T$是线性算子。特别地$T\theta = \theta.$左右两端的$\theta$分别是$X, Y$中的零元。展开例子折叠例子

1. 矩阵对向量的映射（线性变换）是线性算子。
2. 微分算子都是线性算子，例如 椭圆算子（特例 Laplace 算子）、抛物算子（特例热方程）和双曲算子（特例波方程）。
3. $L^1(\R^n)$函数类上的 Fourier 变换是线性算子。

取值于数域上的线性算子称为线性泛函，例如当$Y = \R \text{ or } \C$分别为实或复线性泛函。

连续性和有界性

假设$X, Y$是赋准范数线性空间，有线性算子$T: D(T) \to Y$其中$D(T) \subset X$，$x_0 \in D(T)$，如果

$$\forall x_n \in D(T), x_n \to x_0 \Longrightarrow Tx_n \to Tx_0.$$

我们就称$T$在$x_0$处连续。

线性性的重要特点在于一点处的局部性质可以控制全局性质，例如，上述定义的线性算子在$T(X)$处处连续当且仅当它在$\theta$处连续。

另假设$X, Y$是赋范线性空间，假设有线性算子$T: D(T) \to Y$，$D(T) \subset X$，如果存在一个$M > 0$是常数满足

$$\| Tx \|_Y \leqslant M \| x \|_X, \forall x \in X.$$

我们就说$T$是有界算子。算子$T$是有界的当且仅当它将有界集映为有界集。

可以证明，赋范线性空间中，线性算子的连续性和有界性是等价的，因此我们通常用有界算子来表征赋范线性空间中线性算子的连续性。此外用Zorn 引理可以证明，任何无限维赋范线性空间上必存在定义在全空间上的无界线性算子。

特别地，线性泛函$f: X \to \C$连续当且仅当$\ker f$在$X$中闭。

算子空间

用记号$\mathcal{L}(X, Y)$表示由$X$到$Y$的有界线性算子的全体，引入算子范数

$$\| T \| := \sup_{x \in X - \{ \theta \}} \dfrac{\| Tx \|}{\| x \|}.$$

特别地，如果$X, Y$是赋范线性空间，而$Y$是完备的，规定$\mathcal{L}(X, Y)$上的线性运算

$$(\alpha T_1 + \beta T_2) (x) = \alpha T_1(x) + \beta T_2(x), \forall x \in X.$$

那么$(\mathcal{L}(X, Y), \| \cdot \|)$是 Banach 空间。

$\mathcal{L}(X, X)$也可简写为$\mathcal{L}(X)$，也被称为对偶空间或共轭空间。如果$X$是有穷维的，那么$T$是有界的。

算子范数的其他等价刻画：

1. $\| T \| = \sup_{\| x \| = 1} \| Tx \|.$
2. $\| T \| = \sup_{\| x \| \leqslant 1} \| Tx \|.$
3. $\| T \| = \sup_{\| x \| < 1} \| Tx \|.$
4. 若$Y = \R$，那么$\| T \| = \sup_{\| x \| = 1} Tx.$
5. 若$Y = \R$，那么$\| T \| = \delta^{-1} \sup_{\| x \| < \delta} Tx, \forall \delta > 0.$
6. 若$Y = \R, T \ne 0$，那么$\| T \| = \left( \inf_{Tx = 1, x \in X} \| x \| \right)^{-1}.$

算子范数依赖于具体的定义域和值域，例如同样是$L[a, b]$上的不定积分算子

$$T: f(x) \mapsto \int_a^x f(t) \mathrm{d}t.$$

当$R(T) = C[a, b]$时算子范数$\| T \| = 1$，而当$R(T) = L[a, b]$时$\| T \| = b-a.$

可逆性

假设$X, Y$是赋范线性空间，$T: X \to Y$是一个线性算子，如果$f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$，我们就说它是单射；如果$T(X) = Y$，我们就说它是满射；既单又满的线性算子称为是可逆的，或双射。

开映射定理指出，Banach 空间中的可逆的连续线性算子的逆依然是连续线性算子。

一个算子可能不具备完全的可逆性，这时可以定义它的单边逆，例如左逆和右逆：假设$T: X \to Y$是一个连续线性算子，

1. 如果存在一个连续线性算子$S: Y \to X$使得$T \circ S = \text{Id}_Y$，我们就称$T$是右可逆的，$S$是它的右逆（right inverse）。
2. 如果存在一个连续线性算子$S: Y \to X$使得$S \circ T = \text{Id}_X$，我们就称$T$是左可逆的，$S$是它的左逆（left inverse）。

下面的定理指出了单边逆和象空间（或零空间）的关系：假设$T: X \to Y$是一个连续线性算子，

1. 满射$T$右可逆当且仅当$\text{ker} T$在$X$中存在补空间，且此时$Sy = Px, \forall y \in Y$，$x$是方程$Tx = y$的一个解，$P: X \to L$的投影映射，$L$是$\text{ker} T$的补空间。
2. 单射$T$左可逆当且仅当$\text{im} T$在$Y$中闭且存在补空间，且此时$Sy = x, \forall y \in Y$，$x$是方程$Tx = Py$的唯一解，$P: Y \to \text{im} T$的投影映射。

闭算子

假设$X, Y$是赋范线性空间，$A: D(A) \subset X \to Y$是一个线性算子，如果对任意定义域$D(A)$中的点列$\{ x_n \}$，由$\lim_{n \to \infty} x_n = x$以及$\lim_{n \to \infty} Ax_n = y$可以得到$x \in D(A), y = Ax.$

对闭算子来说，开映射定理依然成立。连续性和闭性之间的关系由闭图像定理保证。

赋范代数

假设$X$既是赋范线性空间又是代数，且满足$\forall x, y \in X, \| xy \| \leqslant \| x \| \| y \|.$我们就称$X$是赋范代数，于是如果$X, Y$是赋范线性空间，那么$L(X, Y)$是赋范代数，完备的赋范代数称为 Banach 代数。如果 Banach 代数中的乘法是具有单位元的，称它为含幺 Banach 代数。对 Banach 代数的研究是近代泛函分析的一个热门话题。

在算子谱理论中，如下结果将会被使用：假设$X$是赋范代数，那么

$$\forall x \in X, \lim_{n \to \infty} \big( \| x^n \| \big)^\frac{1}{n} = \inf_{n \geqslant 1} \big( \| x^n \| \big)^\frac{1}{n}.$$

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.
2. Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN 978-0-3877-0913-0.