线性空间的直和分解

为了更好地研究线性空间在某个线性变换下的结构，现在引入线性空间对于特定的线性变换的一类直和分解。模上也有类似的直和分解，参见模的直和。

直和的推广

设$V_i \leqslant V, i = 1, 2, \cdots, s$，称和$\sum_{i=1}^s V_i$是直和，如果$\forall \alpha \in \sum_{i=1}^s V_i, \exists! \alpha_i \in V_i, \alpha = \sum_{i=1}^s \alpha_i$，记作$\bigoplus_{i=1}^s V_i$。

可以证明，$$\begin{align} \sum_{i=1}^s V_i = \bigoplus_{i=1}^s V_i & \iff V_i \bigcap \Bigg( \sum_{\overset{j = 1}{j \ne i}}^s V_j \Bigg) = \{ \theta \}, i = 1,2,\cdots,s \\ & \iff V_i \bigcap \left( \sum_{j=1}^{i-1} V_j \right) = \{ \theta \}, i = 2,3,\cdots,s. \end{align}$$

线性空间的直和的分解

设$V$是数域$\mathbb{P}$上的一个$n$维线性空间，$A \in L(V)$，$f_i (x) \in \mathbb{P} [x], i = 1,2,\cdots,s$，且$d(x) = \overset{s}{\underset{i=1}{\gcd}} f_i (x), h(x) = \overset{s}{\underset{i=1}{\operatorname{lcm}}} f_i (x)$，则 $$\begin{align} \operatorname{Ker} d(A) & = \bigcap_{i=1}^s \operatorname{Ker} f_i (A) \\ \operatorname{Ker} h(A) & = \sum_{i=1}^s \operatorname{Ker} f_i (A) \\ \end{align}$$

特别地，如果$\gcd (f_i (x), f_j (x)) = 1, i,j = 1,2,\cdots,s,i \ne j$，记$f(x) = \prod_{i=1}^s f_i (x)$，则有$$\operatorname{Ker} f(A) = \bigoplus_{i=1}^s \operatorname{Ker} f_i (A)$$

根子空间的直和分解

如果$\Delta_A (\lambda)$有标准分解式$\Delta_A (\lambda) = \prod_{i=1}^s p_i^{k_i} (\lambda)$，那么 $$V = \bigoplus_{i=1}^s \operatorname{Ker} p_i^{k_i} (A)$$

进而，如果$\Delta_A (\lambda)$的标准分解式为$\Delta_A (\lambda) = \prod_{i=1}^s (\lambda - \lambda_i)^{k_i}$，其中$\lambda_i \ne \lambda_j, i \ne j , i,j = 1,2,\cdots,s$，那么 $$V = \bigoplus_{i=1}^s \operatorname{Ker} (A - \lambda_i E)^{k_i}$$

我们把$(A - \lambda_i E)^{k_i}$称为线性变换$A$相对于特征根$\lambda_i$的根子空间，全空间$V$的上述分解也称为线性空间$V$关于线性变换$A$的根子空间的直和分解。

容易得出，$A$相对于特征根$\lambda_i$的特征子空间$\operatorname{Ker} (A - \lambda_i E) \subseteq \operatorname{Ker} (A - \lambda_i E)^{k_i}$，且$\dim \operatorname{Ker} (A - \lambda_i E)^{k_i} = k_i$。

上下节

• 上一节：Jordan 标准形
• 下一节：幂等线性变换

  参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.