线性空间的坐标变换

在一个非零线性空间中，基底不只有一个，而线性空间中向量的表示和基底的选取有关，这里就讨论相同向量在不同基底下坐标之间的关系，亦即坐标变换。

下面的研究中需要借助到形式矩阵的运算性质。

过渡矩阵

设线性空间$V$的两组基底是$(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n)$以及$(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n)$，它们之间有如下关系

$$\eta_i = \sum_{j=1}^n a_{ji} \varepsilon_j, \quad i = 1, 2, \cdots, n$$

这可以形式地写成

$$(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n) \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right)$$

记$\mathit{A} = (a_{ij})_{n \times n}$，称$\mathit{A}$是基底$(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n)$到$(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n)$的过渡矩阵，由于基底向量组可以互相表示，所以过渡矩阵是可逆矩阵。

坐标变换

设$\alpha \in V$，且$(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n)$和$(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n)$是两组基底，则有

$$\alpha = \sum_{k=1}^{n} x_k \varepsilon_k = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n) \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right)$$

$$\alpha = \sum_{k=1}^{n} y_k \eta_k = (\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n) \left( \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{matrix} \right)$$

于是

$$\begin{align} \alpha & = & \big( (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n) \mathit{A} \big) \left( \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{matrix} \right) \\ & = & (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n) \big( \mathit{A} \left( \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{matrix} \right) \big) \end{align}$$

向量$\alpha$在给定的基底$(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n)$下坐标是唯一的，所以

$$\left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right) = \mathit{A} \left( \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{matrix} \right)$$

也可以写作

$$\left( \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{matrix} \right) = \mathit{A}^{-1} \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right)$$

这就是向量在不同基底下的坐标变换公式。

参见

• 上一节：线性空间的维数和基底
• 下一节：线性空间的同构

参考资料

1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.